结构动力学能量法.docx
结构动力学能量法势能：设位移函数。局限性，不能同时考虑多种函数，频率偏高，动位移精度好，动内力精度低。考虑梁的轴向、弯曲、剪切和扭转变形的应变能：2 J <j EF TEJ 十 GF TKa)或者：J T巩戮+ M粉+ “喻+ 居给W动能：T=JdT=Ze。吧I) & +J。J仔4)石依据能量守恒，即最大动能等于最大势能，可以求出结构的频率。 若只考虑弯曲变形，梁的频率为：Lejy'" aOipFYt(x)dx(6)假如还有集中质量则,LEJYnxy)dxQ一LJ*pFY2 8)(+ TmSrtQl04 1式中的y为位移函数，只要满意位移边界条件即可。 以上两式也叫瑞雷商。从式（7）还可以推导出：广Q尸尸C) dxmiYt(ziy八 O4 ,/2 L EJY,9 2 (x)r lEJYn 2 (N)&T=g V卜十/W应用：如图,777777777,777).«)=Vfi其周期：例题：两边简支的梁，取Y = sinX-Ln2 11EJ（SiIl 各） =T ipFsi2 jrdxL EJ -3inidx_ Jo L LI pFsint-y cd,x J OLU淳万PF =粒_n2 /Jj _ 9.8696 /EJ必="才=F"才Y = xCL-x）Y2 = xi-2Lx3L2xlI =-2EJ x(-2)trfx ml,(x4- 2Lxz + L2xz) dxJ O 10.95 向一这比精确值偏高10,9%余能：保持势能的优点，只设一个位移函数，可以推广到板壳及有限元中，计算频率精度特 高，接近实际频率，动位移差，动内力精度高。1、弯曲梁动力计算的最小余能公式k笔+舞+>A2EJ(1)式中：最终一项为支座沉陷的余能。结构运动方程：EJyx)n - m2y(x) + Niyx) = 0(2)该方程比静力问题多了-加苏y(x)这一项，可以把它比拟成弹性地基上的梁。EJP lz Zb 1 ×EJ-7XEU)r÷(x) + 7V1(x) = 0该简支梁弯曲变形余能为：(3) = 2 (-x-x)2dr + -2EJ 22%假如梁是放在弹性系数为k的地基上时，其弹簧的余能为:i 2k(4)n = I JWy(X)2J ZEJ 2m2其中M (x)为假想惯性力引起的弯矩函数。考虑剪切变形影响时式(5)可以改写成：口 J Q+也混武力2J 2EJ 2jliGA 2m2(5)(6)设 y(x) = sin 子则假想惯性力为：夕(幻="ny(%) = -,(x)l竽3x可以得到：j 2/ M 7 xQ(X) = m a cos + zv1aycos-1 . ,2 / 2 TtX . . TCXM(X) = tn''a(- sin + N、a sin 一 II将式(10)代入(6)得到I /1 I/ m24a2 - =，己)4£_ +2EJ 2 2GA 2 2m2(7)(8)(9)(10)(11)IEJ2 2 m a产r + m2a2l +4EJ2jliGANla222GAl式(11)对团。,取导数:2EJ z- =-m"a +-n a + + (ma) 2EJ 42GA 2I N、户 Nl 1 TV1 I2 TV12 22EJ 2GA-7PGA、 =c- =-5-（13）tn I5 m I3 m 4 tn I22EJ 4 2GA 2 EJ 4 GA2式中：分母第一项为弯曲变形苏的倒数，其次项为剪切变形凉令Nl=O时可以得到：=A+-（14） h 、假如将常轴力M由压力变为拉力，式（id变为：2EJ 2 2/jGA 2 2m2(Nl 2 2 3 Nl2 2； N； 2. NIa2后-m a r- tn a I- crl 2EJ 1 2GA4EJ 2/GA/对NM取导数，得到此为弦横向振动的基频。若令式（13）中的6? =0,则可求得：Nl=J（17）1 1EJ 1 GA强迫振动的余能方法：TZXy（x,f） = sin-sin6r均布荷载引起的弯矩和剪力:Mqx = l-x)xQq(x) = l(l-x)于是式(10)变成：八/、 八2 / 4XZ 冗 TDCq ,I 、Q(X) = m a cos + Nla-cos +- x)1 /、x2 / / 12 a . 7DC q ,1、M(x) = tn (一 sin + N、a sin + (/ - x)x II 2=-(-)4m24a2 - + (-)2fn24a2 -2EJ 2 2GA 2lm24a2 -2m1(19)(20)ffl2+qlyma2NlZ)2 2, N： 2, N/-m a I + a l + !+0.129/5 的2 22GA4EJ2GAl2EJ2(21)GA'an* 5 Zp：-=-ma(m2a) 2EJ '÷÷L=o2EJ" jl/GA 3求得a为：1 3H72GA 2tn2a- - +2I32EJ 2a + -al2GA(22)0.129/， 4q 尸EJ? * RGA兀3(1-7Vl I2 N17PZa)(1-吗(23)1 Nj Nl其中：co2 =(24)EJ ? GA m I4 m I2 EJ 4 JUGA 2O129% 5qEJ 2 25 384EAql2 ql2GAy 8GA弯曲变形梁中点得位移剪切变形梁中点的位移
