数列的前n项和求解方法专题讲解.docx
例LLl已知数列4的前项和为S,=2"-l,bn=atl+2n-,则数列d的前项和为OA.2n-,+-lB.2n1+2n2-lC.T+n2-1D.2n,+W2+1【答案】C【解析】.bn=an+2n-1,数列bn的前n项和=Sn+l+3+.+(2n-l)i1n(l+2/1-1)=Z-H2=2-l÷n2.例1.1.2已知数列“中，4=1,。=(一1)”(%+1),记S”为4前项的和，则S.=【答案】一IoO5【解析】<a=l,ar1+=(1)n(an+l)>.*.a2=2,a3=-1>a4=0,a5=l»a=-2.从而可得数列an是以4为周期的数列*Szou=a+a2+a3+a2oi3=(a1+a2÷a3÷a4)×503+a2013=503×(l-2-l÷0)+1=-1005.例1.1.3已知数列¢,为等差数列，4=3,4=7；数列2为公比为q(q>1)的等比数列，且满足集合也也=1,2,4.(I)求数列q,2的通项公式；(II)求数列4+么的前项和S11【答案】(I)an=2n-;hn=2n-i(11) Sn=n2+T-【解析】(I)设等差数列的首项和公差分别为ai、d,V32=3»a4=7,.*.a÷d=3,a÷3d=7,解得：a=l,d=2,.*.a=1÷2(n-1)=2n-L;等比数列bn成公比大于1的等比数列且b,b2,b3)=h2,4,.*.b=l,bz=2,b3=4,*b1=1,q=2,b11=2n,;(11)由(I)可知Sn=(a+a2+an)+(bl+b2+bn)(1+2-1)1-2”2+1-2=n2÷2nl.序相加法例1.2.1已知f()=+in-,则41)+/(2)+/(3)+/(99)的值为O100-X99A.5000B.4950C.99D.2【答案】B【解析】:/(x)=x+n-,100tX100_y/(x)+f(100-x)=x+ln+100-x+ln=100»lOOxX/(1)+/(2)+/(3)+.+/(99)=50(1)+f(99)-f(50)=50×l-50=4950.例1.2.2Sin21o+sin22o+sin23o+.+sin289o.89【答案】S=-2【解析】S=sin2lo+sin22o+sin23o+-+sin2890QQ5=sin289o+sin288o+sin287o÷+sin2lo,/.2S=89,S=竺.2例1.2.3设/(X)=-L产，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得2t+2/(-5)+/M)+/(O)+-+/(5)+/(6)的值为【答案】3立【解析】.(x) /(i-) =12x2 +近- 2 +"2'2x+22/(x)+f(l-x)=!尸=+''f2a+22,x+22÷22÷22x设S=/(-5)+/(-4)+/(0)+/(5)+/(6)，则S=/(6)+/(5)+/(0)+.+/(T)+/(-5),：225="+/(-5)1+"+/(-4)+f(-5)+/(6)1=62,:5=/(-5)÷/(-4)+/(0)+/(5)+/(6)=3人.随堂练习随练LI数列4的前项和为S"j-+"+l,=(T)ZSWN")则数列出的前5°项和为().A.49B.50C.99D.100【答案】A解析当=1时，"=$=3当22时，为=St-SZ=2(22).f3,i=1.bl+b2+0=(-3+4)+(-6+8)+(-98+100)=l÷2+2+4=4924个随练1.2已知an是等比数歹U,满足=6,%=T8,数歹U他“满足a=2,且2+为是公差为2的等差数列.(I)求数列%和2的通项公式；(II)求数列2的前/项和.【答案】(I)=-三-=h+(-3,(n)n(+l-(-3r"24【解析】(I)设数列af1的公比为q,a2=aq=6ay=a/=-18解得a=-2,q=-3所以，an=-2×(3)n1令Cn=2be+av则C=2b+a=2,c11=2÷(n-1)×2=2n%=+(-3尸(II)Vbn=n+(-3)1,数列L的前n项和：Sn=(l+2+3+.÷n)+(-3)0+(-3)+(-3)2+(-3)3+.+(-3)n1(+1)1-(-3)"=2+1-(-3),.+1(3)”Jt,-'”24x-11随练1.3已知函数f(x)=7,则/(1)+/(2)+/(3)+/(一)+/(一)=.l+x23【答案】-21【解析】:函数/(%)=±7，.")=上=一一，寸()+/(工)=.1+xX1÷4X+1X：.f(1)+/(2)+/(3)+/(-)+f(!)=f(I)+1+1=-.2324随练“设加夫【答案】0064,x2【解析】+得 2S = 2012=>S = 1006I)=产豆=77?J3+/(I)=I随练1.5已知函数f(X)=若;，数列4的前项和为Sn，且q=/(蒋)，则S刈7O2019A.1008B.1010C.D.20192【答案】B一 .数列的求和方法1 .裂项相沿法T芯'的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.已知数列%为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,求和：el÷1z11、el1z11、n首先考虑Z=-(),则Z-()=.=I44+1Mdai4+i=aiai+xd«,an+laian+i已知数列4为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,下列求和f-lj=之区;M也可用裂项求和法.i=Jq+J4*1f=d2 .错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前几项和，常用错位相减法an=bncn,其中4是等差数列，q是等比数列，记S”=S-十%*+3,则qSn=blc2+-1cn+f+1,两式相减即可求得.一.方法点拨对于分母为三次函数的裂项，先裂成两个分母为二次的分式之差，再分别裂项.二 .必备公式1J_L1J(I_!_)拆项公式：(+1)n+1；n(n+2)2n+2；1Iz11、-=,(-)(2-1)(2+1)22/1-12+1例2.1.1已知数列的前n项和Sn=M3,T),且=27(1)求数列qJ的通项公式；(2)若2=bg3(,求数列的前项和北.l+l,=_1.【答案】(I)ann(2)n+1,k=-【解析】当=3时，=S3-S?=©3'-3-)=27,解得2当2时，W-S,=I(3-1)-(3-,-l)=(3-3,)=3"q=$=3也满足上式，故a.=3"；(2)=log,3=n,=3÷(+1)nn+,11111111n223n+1n+zz+1例2L2已知数列aj是各项均不为零的等差数列，S.为其前n项和，（nM）,若不等式.对任意nM恒成立，则实数人的最大值是一【答案】1/2例2.1.3已知等差数列的前项和为sn,a3=3,54=10,则数列一Ig的前100项的和为（）200A.101【答案】A100I2B.C.D.101101101【解析】.内:=3,S4=""2=10,.cr1+%=W+%=5g=2所以等差数列qt的公差d=a3-a2=l,.at=a2-d=l,通项公式为2n(n+1)1则其前项和为S”二二L._=2S”则数列J的前100S,1 1 1 1 + + .+ 223100焉卜一击卜部例2.1.4数列4满足4=1'对任意的见eyv'都有4"+"=品+%+加"，则1111÷+FHaa2。3fl2O17等于()例2.2.1已知等比数列叫的前项和为Si若S3=7,S6=63,则数列,的前项和为()【解析】由题意可得，公比“力，.4(j)=7,W"'I,1-q-q相除可得l+3=9,q=2,'=l.故G="T=2Tnan=n2n'f数列wlt的前项和MI=I2。+221+.+2一,2,1=l2l+222+.+(n-l)2"l+n2"*l-2z,两式相减可得，-M=I+2+22+.+2"-f0=n2lt=2n-l-n2=(l-n)2n-l,1-2：.M»=(n-1)2n+1故选：D例2.2.2若数列&的通项公式为加=2,则前n项和为（）2”A-Sn=l-B.Sn=2-22一2CS11zzn（I-）D.S11zz2÷22-2"【答案】B【解析】可用错位相减求或验证Si、S2.法一（验证法）：S=a=2f2,排除D.I2Sz=a+a2=-+=1.排除A,C.选B222法二（错位相减法）：Sn=a+a2+.+an=i+.+-222TIl2公22222十aICIIl1n1 n .+2-1222,故选B. 2”-得：-s-+-+-*Sn=1+-7"+222数列bn =例2.2.3已知数列«满足：a1=La“=2"（"N"）og,2（l+%）（wN，）,Tn=bb2+-+bn,则几的值为（）1+为【解析】:a=l,a11+-a11=2n（nN*）f.*.as-a=2>a3-a2=22ta4-a3=23,an-al=2n,等式两边同时相加得：an-a=2+22+23+.2nl,1-2BPan=a+2+22+23+.2nl=l+2+22+23+.2n',=2n-1,1-2T等)=粤号号=野则Tn=L+W，222232"ml1_123/1-1n台22223242”2n+l-得ITl 1-Tn=- + 22 222:11 n+ 2t+-"+27 '尸=,4-=l2"，n÷1则 Tn=2 -2'i-A2÷=2=空123则Tlo=2-=2-4256 25621028例2.2.4在等差数列4
