学案三角函数概念.docx

三角函数概念7. 2.1任意角的三角函数【第一课时】任意角的三角函数（一）【教学目标】1 .借助圆理解任意角的三角函数定义。2 .能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学重难点】1 .借助圆理解任意角的三角函数定义。2 .能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学过程】一、情境引入如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为如，它的直径为2R,逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒。问题（1）若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度力为多少？过了45秒呢？过了f秒呢？（2）如图所示建立直角坐标系，设点PaP,"）,你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角。的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数（余弦、正切）？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？提示（1）30秒时h=1u）+Rsin30o=fo+7?;45秒时h=ho+Rsin45o,t秒时z=zo+Rsin产。(2)能，sina=yptCOSa=XP,tana=甘，改变终边上点的位置，比值不会改变。二、新知初探1 .任意角的三角函数的定义一般地，对任意角a,在平面直角坐标系中，设。的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(,y),它与原点距离是r,则=这五；此时，点P是角。的终边与半径为一的圆的交点。(如图)贝(I：(1)比值料做a的正弦，记作Sina,即Sina=j(3)比值)(x0)叫做a的正切，记作tana,即tana=；(x0)o2 .三角函数对于每一个实数a,都有唯一实数Sina与a对应，故Sina是a的函数，同理CoSa也是Jra的函数；当aE+awZ)时，tana也是a的函数；则sin。、COSa、tana分别叫做a的正弦函数、余弦函数、正切函数;以上三种函数统称为。的三角函数。3 .三角函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)。yy÷+-OX-O_sinacosa拓展深化微判断1 .角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化。(X)提示角的三角函数值与点在终边上的位置无关。2 .若角Q终边过点(1,3),则Sin。=理/。3)3 .终边在无轴上的角的正切值不存在。(×)提示终边在y轴上的角的正切值不存在。4 .若Sinacos>0,则角为第一象限角。(x)提示sincosa>0,则Sin,COSa同号，则为第一、三象限角。5 .sin>0,则为第一、二象限角。(×)提示的终边位于第一、二象限或y轴正半轴。微训练1 .若=,贝Ucos=oO解析cosQ=坐。3答案M2 .tan-y的符号为。解析y=4-,即事是第四象限角，所以tarN).答案负3 .已知角的终边经过点(3,4),贝!jsin+cos1的值为。,431解析易知r=N32+(4)2=5,所以Sina=-亍COSQ=5，故Sina+coso=-石田1答案一534 .若点P(3,y)是角CC终边上的一点，且满足y<0,cos1=亍则tana=。33解析Tcosa=而百=亍32÷y2=5.*.y2=16,4V><0>.y=-4,Atan=-4答案号微思考1 .三角函数值的大小与点P在角。终边上的位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点尸,y)在终边上的位置无关，而仅由角a的终边位置所决定。对于确定的角,其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数。2 .若两个角扇4的正弦值相等，那么=夕吗？提示不一定相等，4可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于)，轴对称。3 .三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数值的符号与X的符号相同。正切函数值的符号由点角定。三、合作探究题型一利用角。的终边上任意一点的坐标求三角函数值【例1】已知角的终边过点P(-3a,44)(00),求2sin+cos0的值。解r=y(-3)(4。)2=5同，若>0,则r=5,角在第二象限。,y4«4X3a3Sma=F=五=干coSa=：=丁=一亍83所以2sin+cos=-1.若<0,则=5,角在第四象限，4。43。3sina=一丁=-7»cosa=一丁=5a5-5a5Q3所以2sin+cosa=-§+；=1.规律方法(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在的终边上任选一点P(JGy),设P到原点的距离为r贝IJSina=夕COSa=也当已知的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便。(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。【训练1】已知角的终边经过点尸(5m,12),且CoSa=一卷，则相=。(m<Qf解析r=y(5m)2÷122=25w2÷144,cosa=<0,AIn1,-I®?+=-!?解得tn=-.答案T题型二求特殊角的三角函数值2TT【例2】利用定义求售的正弦、余弦和正切值。9Jr解如图所示，手的终边与单位圆的交点为P,过点尸作尸8_LX轴于点6,在Rt。尸3中，OP=LNPo8=?则P8=坐0B=9则一g,坐)所以Sin竽=零COSy=12,立22厂tan=-j=-y3<>-2规律方法在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标。然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值。【训练2】对于表中的角,计算Sina、COSa、tana的值，并填写下表。aO6322T567T4T3T5TllT2sinaOX2122西2亚2Ocosatana不存在O不存在O1-2-32323.3 1-2一3 O - 1-25 3233 133 1-2Os 3233 32。 案 答32 1-2题型三三角函数值在各象限的符号【例3】（1）若角。同时满足Sino<0且tan火0,则角。的终边一定位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）判断下列各式的符号：tan191o-cos191°；Sin2cos3tan4.（1）解析由sin8<0,可知。的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与），轴的负半轴重合。由tanv,可知。的终边可能位于第二象限或第四象限，故。的终边只能位于第四象限。故选D.答案D（2）解因为191。是第三象限角；所以tanl910>0,cos191o<0.所以tan191o-cos191o>0.因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角。所以sin2>0,cos3<0>tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.规律方法三角函数值符号的判断问题：（1）由三角函数的定义可知Sina=cosa=?,tana=：3>0）可知三角函数值的符号是由角的终边上一点（除原点）P（x,y）的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键。（2）由三角函数值的符号确定。角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求。（3）已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上。【训练3】判断下列三角函数值的符号：（1） sin3,cos4,tan5；（2） sincostan（为三角形的内角）。角军（1）V<3<<4<y<5<2,3,4,5分别在第二、三、四象限,/.sin3>0,cos4<0,tan5<0.（2） Ca为三角形的一个内角，0<以v7t,0<髡sin>0,cos>0,tan>0/.sincos5tan5>O.四、课堂总结1 .通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养。2 .正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数。3 .角的三角函数值的符号只与角所在象限有关，角所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。五、课堂练习1 .若角a的终边上一点的坐标为（1,-1）,则COSa为（）A.1B.一1C也D-0解析：角a的终边上一点的坐标为（1,1）,它与原点的距离r=l2+（-1）2=2,cosa=o答案C2 .若三角形的两内角,£满足SinaCoS夕<0,则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能解析：北、夕为三角形的内角，所以0<,<,.sina>O,.cosM）,“为钝角。即三角形为钝角三角形。故选B.答案B3 .已知角的终边经过点（3-7,。+4）,且SinaNO,cos<0,则实数的取值范围是解析由三角函数的定义可知Sina>0=>+4>0,cosa<0=>3-7<0,.,.4<<0答案-4,14 .已知点P(tana,CoSa)在第三象限，则角a的终边在第象限。解析因为点P(tana,cosa)在第三象限，则tana<0且COSaV0,故角a的终边在第二象限。答案二5 .已知角a的终边在射线y=lr(QO)上，求角a的正弦、余弦和正切值。解设角«的终边与单位圆的交点为P(x,y),则x2+y2=l,又y=小X(x>0),于是Sina=一近了一 2cosa=x=ytana【第二课时】任意角的三角函数(二)【教学目标】1 .会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。2 .理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律。3 .能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。【教学重难点】会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。【教学过程】一、情境引入角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数)。作为角的函数三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(X,y),则Sina=y,COSa=X问题(1)你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？tan怎样表示？(2)当为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角。的正弦值和余弦值呢？tana=：怎样表示呢？提示(1)如图，过角。的终边与单位圆的交点户向X轴作垂线，垂足为M,则MP=y=sin,OM=X=COsa；过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终