全国甲卷理数（解析版）.docx
全国甲卷理数(解析版)一、单选题1. (2023全国统考高考真题)设集合A=d=3k+l,ZZ,B=Gdx=3%+2,%Z,U为整数集，(AB)=()A.xx=3k,kZB.(x=3k-,keZC.Ix=3k-2,keZD.0【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.【详解】因为整数集Z=xx=3AMZjxx=3Al,%tZlixx=3k+2tkeZltU=Z,所以，(AI.B)=xx=3lceZ.故选：A.2. (2023全国统考高考真题)若复数(+i)(l-5)=2,R,则a=()A.-1B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.【详解】因为(+i)(l-i)=-i+i+=2+(l-)i=2,2二八，解得：«=1.1一。=0故选：C.3. (2023全国统考高考真题)执行下面的程序框遇，输出的B=()n-,A-,B-2A=A+BB=A+Bn=n+1/输出s/I'(结束)A.21B.34C.55D.89【答案】B【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.【详解】当=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，=l+2=3,3=3+2=5,"=1+1=2:当=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,B=8+5=13,=2+1=3；当=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21,3=21+13=34,"=3+1=4；当=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出3=34.故选：B.4. (2023全国统考高考真题)向量I=Ibl=T,c=,且+A+e=0,则cos(a-c,h-c)=()A.-B.-C.-D.-5555【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为“+B+c=O,所以£+Z?=-2,即d2+b2+2ab=C2,即1+1+25/?=2,所以G7?=0.如图,设OA=4,08=5,OC=c,由题知,04=04=1,0C=JlOAB是等腰直角三角形，AB边上的高OO=旦,AD:也,22所以CQ=Co+00=0+立=里.22tanNACD=,cosNACD=i=CD311),COS4-Cyb-c)=cosNACB=cos2Z.ACD=2cos2ZACD-=2h,4故选:D.5. (2023全国统考高考真题)已知正项等比数列q中，4=LJ为4前项和，55=5S3-4,则S4=()A.7B.9C.15D.30【答案】C【分析】根据题意列出关于。的方程,计算出夕,即可求出S-【详解】由题知1+4+整+/+g4=50+4+才)-4,即4,+t=4g+4/,即夕,+/49一4=O,即“-2)(q+1)(+2)=0.由题知q>0,所以9=2.所以&=1+2+4+8=15.故选:C.6. (2023全国统考高考真题)有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,505404则P（八）=犷沁9=矿,4所以P(6A)=3鬻=曰=0.8.7故选:A.7. (2023全国统考高考真题)“siMa+sin2/=l”是“sina+cos4=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当si/a+sin:/?=1时，例如=',=0但Sina+cos/0,即sin2a+sin2=1推不出Sina+cos4=0；当Sina+cos夕=0时，sin2a+sin2=(-cos)2+sin2=1,即Sina+cos=0能推出si/a+sin?4=1.综上可知，sin2a+sin26=1是Sina+cos/?=0成立的必要不充分条件.故选：B8. (2023全国统考高考真题)己知双曲线S=Ka>O,b>O)的离心率为正，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=l交于A,8两点，则lABI=()A.-B.在C.拽D,还5555【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e二有，则=4学1=1+4=5,a"aa解得2=2,a所以双曲线的一条渐近线不妨取y=21则圆心（2,3）到渐近线的距离d=毕Ml=£,22+l5所以弦长IABI=2尸方=2=竽.故选：D9. （2023全国统考高考真题）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,"c,d,e,假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A：=12种方法，同理：AcS,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.故选：B.10. （2023全国统考高考真题）己知为函数y=cos（2x+|向左平移专个单位所得函数，则y=（）与y=g-g的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得f（x）=-Sin2x,再作出f（力与y=-g的部分大致图像，考虑特殊点处f（）与y=g-g的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为y=cos（2x+£|向左平移聿个单位所得函数为y=cos2+看）+聿=COS（2x+?=-Sin2x,所以/（X）=-Sin2x,而y显然过（°，一£|与（LO）两点，作出/（力与y=g-g的部分大致图像如下,=-sin33当A卡时%=%号处小）与2T的大小1 1, y=-×13 + 4<-i;当X 二个时，/( = -sin = l, y1 3 1 3-4 =X=<1；、i, 7 t.冗 1. 7 1当 = 7时，/I l = -sn- = l, y1 7 1 7-4×2 4>1；所以由图可知，/（X）与y=g-g的交点个数为3.故选：C.11. （2023全国统考高考真题）在四棱锥P-ABCQ中，底面A3CQ为正方形,A8=4,PC=PZ)=3,NPeA=45。，则&PBC的面积为()【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得px>mC。，>8mC4,从而得到%=QB,再在AHAC中利用余弦定理求得PA=J/，从而求得PB=JFF,由此在二PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在APAC中利用余弦定理求得PA=Ji7,CosZPCB=P从而求得PAPC=-3再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于P&N8PO的方程组,从而求得PB=J万，由此在一PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AcB。交于O,连结尸。，则。为ACBo的中点，如图，因为底面ABeZ）为正方形，AB=4,所以AC=Bo=4L则。O=CO=20，又PC=PD=3,PO=OP,所以JDOMPCO,则NPDO=N尸CO,又PC=PD=3,AC=BD=4历,所以L尸。BMLPC4,APA=PB,在Z%CB,PC=3,AC=4,NPG4=45°,则由余弦定理可得PA?=ac2+pc2-2acPCcosNPC4=32+9-2x4x3x=17,2故PA=如,则M=i7,故在sPBC中，PC=3,PB=A、BC=A,所以 CoSNPCB =PC2 ÷ BC2 - PB2IPC BC9 + 16-17 12×3×4 3,又。<NPCB<,所以SinNPCB=Jl-ccNPCB=里，3所以.,PBC的面积为S=JPCBCSinNPCB=IX34述=4应.223法二:连结AC8。交于0,连结尸。，则。为AcBZ）的中点，如图,17 + 9-32 _ 172×7×3 17PAPC = PAPCcos ZAPC因为底面ABa）为正方形，AB=4,所以AC=4O=4L在%（:中，PC=3,NPCA=45。，则由余弦定理可得PA?=AC2+pc2-2acPCcosNPCA=32+9-2x4x3x=17,2故PA=F7,所以cosZAPC=PArPC-AC-2PAPC不妨记PB=叫NBPD=6,因为PO=；（PA+PCj=g（P8+P0）,所以（尸4+PC）2=（PB+PO，PA1+PC2+2PAPC=PB2+PD2+2PB则17+9+2x(-3)=7+9+2x3x"zcose,整理得/CoSe-Il=O，又在中，BD-=PB2÷PD2-2PBPDcosZBPD,即32=>+9-6mcos6,则f112-6mcos6-23=0，两式相力口得2-34=0,故PB=n=M,故在PBC中，PC=3,P=7,C=4,所以 CoSNPCB =PC2 ÷ BC2 - PB22PC BC9 + 16-17 12×3×4 3,又OVNpC<,所以SinNPC8=嬴夏而F=3所以SPBC的面积为S=JPCBCsinNPCB=134逑=4应.223故选：C.12. (2023全国统考高考真题)己知椭圆工+匕=1,耳，鸟为两个焦点，O为原点，P963为椭圆上一点，COSNKPgMg,则IPOI=()A.25【答案】BB.叵C,-D.叵252【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点尸的坐标,从而得出IoH的值;方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出IPKIIP用JPG+|巴珠，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出IMI2+p周2,即可根据中线定理求出.【详解】方法一：设42鸟=240<。三，所以S号=Aan幺警=tan/222rhze,dCCCOS2-sin2l-tan26>3初秋,i1由CoSNKPA=CoS26=7,解得：1an。=彳，COS-e+s11e1+tan52由椭
