微分知识点考试复习题库.docx

微分题库1求解已知某曲线经过点(1,1),他的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程解：设该曲线为y=f(X)曲线的切线方程是yf(x。)=f'(0)(-×0)BPy=f,(×0)(x-)+f()由题意可得到Xe=-×of'(×o)+f()问题转化为求微分方程的解，为了方便我把该微分方程写成X=-Xdydx+y的形式可写成dydx=yx-1设z=yx,则y=z×fdydx=z+xdzdx=yx-l=z-l×dzdx=-l分离变量dz=-dxx两边积分，得z=-lnx+C=yxy=x(C-lnx)曲线经过点(1,1)代人，得y=x(l-lnx)2请问怎么解y"+y等于e的X次方+c。SX这个微分方程谢谢您了解：yw+y=eX+COSX特征方程为：xM+l=0,根为：i,-i因此yl=clcosx+c2sinx设特解y2=ceAx+mxcosx+nxsinxy2'=ceAx+mcosx-mxsinx+nsinx+nxcosxy2"=ceAx-msinx-msinx-mxcosx+ncosx+ncosx-nxsinx=ceAx-2msinx-mxcosx+2ncosx-nxsin×y2"+y=2ceAx-2msinx+2ncosx=eAx+cosx又寸比得：2C=L2m=0,2n=l,BP:c=1/2,m=0,n=l2y2=l2*ex+l2*xsin×因此通解为y=yl+y2=clcosx+c2sin×+l2*e×+l2*xsinx3如何求解下面的问题y"+3y'+2y=e(-x)sinx谢谢您解：特征方程为：2+3+2=0=>l=-l;2=-2;因此齐次方程的通解为：y=cl*e(-x)+c2*e(-2x);设一个特解为y=e(-x)(al*sin×+a2*cosx)=>y>=-eA(-x)(al*sinx+a2*cosx)+eA(-x)(al*cosx-a2*sinx)=-e(-x)(al+a2)sinx-(al-a2)cosx=>y"=e(-x)(al+a2)sin×-(al-a2)cosx-e(-x)(al+a2)cosx+(al-a2)sinx=2e(-x)(a2*sinx-al*cosx)代入微分方程并整理得：-(al+a2)*e(-x)*sinx+(al-a2)*e(-x)*cos×=e(-x)sinx=>-(al+a2)=l;al-a2=0;解得：al=a2=-1/2因此特解为：y=-1/2*eA(-x)(sinx+cosx)微分方程的通解为：y=cl*e(-x)+c2*e(-2x)-1/2*eA(-x)(sinx+cosx)4怎样求解一阶非线性微分方程具体例子如下:7''=6八(2丫),丫(0)=/(0)=0:求其通解和初始条件下的特解解：这是二阶方程了。可以设y'=p=dydx贝Uyn=dp/dx=dpdy*dydx=pdp/dy代入方程得：pdpdy=ez2y)即pdp=e(2y)dy2pdy=e(2y)d(2y)积分：p2=e2y+cl由y(O)=O,y,(O)=O,得：0=e0+cl,得：cl=-l因此有：p=(e2y-l)得：dy(e2y-l)=dxSa积分为：令t=(e八2y-l),得：y=l2*ln(t2+l),dy=tdt.(t2+l)Jdt/(tA2+l)=arctant=arctanV(eA2y-l)右边积分为：×+c2因此有：arctan(e2y-l)=x+c2代入y(0)=0得：arctan0=c2=0因此有:arctan(e2y-l)=x即：(e2y-l)=tanxy=l2*ln(tan×)2+l用心学微分方程,很有用的