SF01数Ch12数项级数.docx

SFOl（数）Ch12数项级数计划课时：14时P1341552002.03.08.Ch12数项级数（14时）§1级数的收敛性（3时）一.概念：1 .级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第项）,前项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为EU2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝木，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.Ji=On1_1解匕|<1时，Sll=Yqk=-,（7）.级数收敛；M1一夕l-qg>l时,SN=,级数发散；时，S11=n+,(->co),级数发散；夕=一1时，S=（1+（-1）,（7）,级数发散.综上，几何级数tqn当且仅当旧|<1时收敛，且和为一（注意从0开始）.h=oI-Q例2讨论级数y!的敛散性.解用链锁消去法求S“，参阅P4950,P265-267.例3讨论级数S二的敛散性.«=12s、几CSk123zz-ln«=乙乙乙乙LL1232+ T24H-Irnn+21, （ 一oo）.11 n27272;=>S”f2,(n>8).因此，该级数收敛.82例4讨论级数£*的敛散性.£5-3解3_>&=2,=S.>小2_>+8,(->8).级数发散.5一35553 .级数与数列的关系：Z%对应部分和数列(SJ,WX收敛o5收敛；对每个数列£,对应级数阳+£(“一七),对该级数，有Szf=j.于是,n2数列乙收敛O级数七+£(X一XZlT)收敛.=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+JJf(X)公=£J7=WX,其中“二j.无穷积分可化为级数；1M=InH=1n对每个级数，定义函数f(X)=U.,n<x<n+y=1,2,，易见有00-WO=Jf(X)公即级数可化为无穷积分.n=1I综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件Ca“c/zy准则：把部分和数列S“收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的CaiIClly准则.Th（Cauchy准则）Un收敛Of>O,3N,>N和VpN,=>Iwn÷l÷un+2+,+Wm+pI<£由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不会影响级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前k项的级数表为£孙或w=+lQOw11+A-”=1系（级数收敛的必要条件）收敛=Iim"=0.nKc例5证明一2级数£二收敛.=l证显然满足收敛的必要条件.令%=二，则当2时有nl1_III1 £（+&）“£（+21）（+女）+pn应用CmMy准则时，应设法把式f%+M不失真地放大成只含而不含”的式子,Jt=I令其小于£,确定N.例6判断级数S"sin!的敛散性.a（验证明>0级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）R1例7（%0但级数发散的例）证明调和级数£一发散.，曰证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）（参阅Ch8§1E2,在教案P84）证法二（证明S“发散.利用Ch10习题课例2已证明的不等式ln（?+1）<1÷-÷+-<l+ln.即得S“f+co,n）.）2n三.收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1ElUn收敛，一Const=>Za收敛且有ZZ%（收敛级数满足分配律）性质2Z“和Z匕1收敛，=>Z（”±匕）收敛，且有Zd±%）=X±%问题：>>“、z®±乙）三者之间敛散性的关系.性质3若级数W>收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.（收敛数列满足结合律）例8考查级数f从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该W=I例的结果说明什么问题？Ex1P6-718（1）-（3）.4P6-721,22,23.§ 2 正项级数（3时）一.正项级数判敛的一般原则：1 .正项级数：%>0,Sft/;任意加括号不影响敛散性.2 .基本定理：Thl设0.则级数WX收敛=0（1）.且当WX发散时，有Sn+OO,（一>8）.（证）正顶级数敛散性的记法.3 .正项级数判敛的比较原则：Th2设WX,和Z乙是两个正项级数，且N,N时有%L,则i > v< + =%v + °0 ；ii> Wx=+ 0°, = Z乙=+ 8 ( ii> 是 i>的逆否命题)例1考查级数之一一的敛散性.tn2-n + 解 有 /? +1 > 0, => -z < -r,2n2 -77 + 1 n218设0< <夕判断级数Xp"sin万 “=1n+,-的敛散性.q（比较原则的极限形式）设Z和Z乙是两个正项级数且则"=/,则n 匕1O < / V+00时，Z和ZU“共敛散；ii> / = 0时， ZUZIV +00，n Z"v + 8 ;iii> / = +8时， Z匕? = + 8 , => Z"=+00 .(证)系2 设Z和是两个正项级数， 若wn = 0（vj,特别地，若匕,（ 8）,则X V+8vzl=+00例3判断下列级数的敛散性:(1)81-l-tt2n-n2,-n001001ln(1+).正项级数判敛法:1.检比法：亦称为OZ/加加门判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th3设Z”为正项级数，且mN。及g（0<夕<1）,">No时i>若也Lq<l,=>Ywzi<+;ii>若也1,=>yw,=÷oo.证i不妨设l时就有4"q<l成立，有%-q,-q.,依次相乘，=qn'',即%u2%un<ulq,l.由Ovg<l,得Z”<+8,=Z4"V+8.ii>可见%往后递增，=unO,n）.系（检比法的极限形式）设，为正项级数，且limX=q.则J28U11i>q<,=Z"V+0°ii>q>l或4=+8,=>Z"”=+00（证）»倘用检比法判得Z%=+8,则有wm>0,（"00）.检比法适用于“”和”+1有相同因子的级数，特别是“中含有因子！者.例4判断级数2 25 258+÷ +1 15 15-9258(2+35-l)159(1+4(1)的敛散性.1, => Z<+ .HmAk=Iim2包=3rtun"T81+44例5讨论级数W>。>0）的敛散性.解“+1(n÷l)x /2 + 1xMX÷ x, (n ).因此，当Ovx<l时，Z<+8；x>l时，Z=+8；X=I时，级数成为Z，发散.7w+,tl例6判断级数2的敛散性.n,'注意若仅有也<1,其敛散性不能确定. %例如对级数Y-和,均有也1, ,nun但前者发散，后者收敛.Ex 1)P191(1)-(7),2(1)(2X4)(5),3,4,12(1X4)；4P31133.2.检根法（CauChy判别法）:也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设Z为正项级数，且N0及7>0,当:>N0时，i>若/<1,n<+oo；ii>若收71,=Z=+8.（此时有令O,（wco）.）（证）系（检根法的极限形式）设£为正项级数，且Iim向=/.则nI<1,=>»，V+8；/>L=>»，=+8.（证）检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数Z*T的敛散性.Iimw700 Vlim=lf122<÷例8判断级数z（一）和（s）的敛散性.解前者通项不趋于零，后者用检根法判得其收敛.3.积分判别法:Th5设在区间1,+8）上函数F（X）0且'.则正项级数Z/5）与积分-WO(%)dc共敛散.I证对VA>1,R1,4且f(n)'f(x)dxf(n-),拉=2,3,Jw-I>»r,tl>"?-1nW1(n-D=(n),=2n2=1例9讨论-级数£二的敛散性.”=inp解考虑函数/（X）=,>0时/（x）在区间l,+oo）上非负递减.积分级数52当p > 1时收敛，xpf(xdx当p>1时收敛，O<p1时发散.=O<pl时发散.pOI,>0,级数发散.np综上，一级数名，当且仅当p>1时收敛.”=1n例10讨论下列级数的敛散性:81(1)y；(2)yn(inn)p念(In)(InInEx1P19-201(8),2(3)(6),5,6,8(1)-(3),11；4P31134.习题课(2时)一.直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式：(1)a,l>0,40,=!.4+4勺对%,有sinqzJl,cosaft1,sinall<an.Ia也|空叱+硝；特别地，有詈g+*),叫状+舟.(4) >0时，有l+,j(l+七)2.(5) ln(l+n)<n.(6) an0,Z"V+8,=充分大时，有j%.例1判断级数；一；的敛散性.tf11+sin2(32÷5)解九3时,wn+sin2(3w2+5)<(或<-)一"_2n2例2判断级数Y-的敛散性，其中>0.仁优+/解0vl时，有7»=>Y<+;a+nnJ>1时，一-7-÷l,(w)=>V'=+8.a,+n2乙例3设数列4有界.证明ZdV”.f2证设InanM,n,=<+.nJ例4设40且数列册?有正下界.证明级数Za“=+8.证设4nan>O,=>an-=,yn例5%0.若Z%=+8,则W>：=+8.证÷),=>(+)=+；又Z-V<+8，=>n2nnn=+8.例6设%".若级数w>和Za收敛，则级数ZC收敛.例7设4O,勿().证明X<+8,Za<+8,n也<+8；和Za之一或两者均发散时，Eah仍可能收敛；X<+8,X<+8,=Zla也v+证充分大时,()qA,q,(2)¾6Fzl-bn=-.nIa也定+").二.利用同阶或等价无