实际问题与二次函数1用定值周长围成图形面积问题.docx

实际问题与二次函数1:用定值周长围成图形面积问题石首市文峰中学李霞教学目标：1、学会用二次函数方法研究几何面积问题；2、体会一元二次方程与二次函数内在关系；3、面积最值的基本求法教学过程：一、问题引入1、用长为100em的金属铝制成一个矩形方框，能否制成面积是600cm2的矩形框？2、同样的条件，能否制800cm2的矩形方框问1：预设学生的做法：设金属丝矩形方框一边长是XCm,另一边为(50x)cm,得x(50x)=600,答：可以制成面积为600cm2的矩形方框问2：预设有的说能，有的说不能，还有学生只作判断不说理由，老师要求说明理由。则上述方程为：x(50-)=800x2-50x+800=0=b2-4ac=-700<0原方程无实根，即没有这样的实数，使矩形面积为800cm,所以不能制成。问3：面积是600cm2可以制成，面积是800Cm2不能制成，同学们有何想法？学生：面积不能太大师问：面积多大才能保证矩形可制成呢？二、问题探究(多维思考)老师引导：此时面积有具体数值，如600、800等，为研究问题方便怎么办？用什么数学模型解决，有几种方法？学生找到解决问题方法：设面积为S,则S=x(50-)可得方法1：x?+5OX-S=O(方程思想)x2-50x+s=0二25004s20才有解S625此法从方程根的判别式求最值，此时学生可能还有疑惑，由此想到方法2：S=x(50-x)=x2+50x(函数思想)S=-(x-25)2+625V-(x-25)20S625即当x=25时，S矩形最大为625cm22、推及一般师问：当x=25时，矩形长宽分别为多少？此时矩形有何特殊性。预设生答：长宽等于25cm,是正方形。师追问：确实是正方形，那么可以这样小结：矩形周长一定时，它的面积最大时一定是正方形呢？(课下探究)设金属丝长为LCm,矩形面积为Scn?,设矩形一边长为Km,则S=x(-X)=-X2+X=(X2X+)+-=(-)2+2221616416V-(-)20S-416当X、时，Ss>三A=77-cm,此时矩形变成正方形。416归纳：当矩形周长一定时，要使制成的矩形面积最大时，这个矩形要制成正方形，解决面积最值问题，可以引入适当求知数后，构建函数模型，用配方法得最值。三、结论应用1、已知RT两直角边长和为8,两条直角边各为多少时，这个RT面积最大？最大值是多少？2、如果用一段长为12m的铝合金型材制作一个上部是半圆，下部是矩形的窗框，(1)要使窗户的透光面积最大，设哪段边长为Xm更好,此时半圆的周长是到少？则矩形另一边为多少？(2)设矩形的面积为S,求S与X的函数关系式？四、中考链接用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形菜园(1)如图(1)矩形菜园一边靠墙，另三边用篱笆CDEF围成；当DE=Xm,直接写出菜园面积y与X的关系，并写出自变量取值范围；菜园面积能否等于IlOm2,若能求出X,不能？说明理由；如图2,如果矩形花园一边由墙AB和一节篱笆BF形成，另三边用篱笆ADEF围成，求菜园面积最大值.五、挑战思维分别用长为L的线段围成等边三角形、矩形和圆，哪种图形面积大？为什么？S½jfj=x(-L-X)=x2+-Lx=-(X)2+222416S1«=r2=(-L)2=:工>三>024乃4163六、总结：1.解决面积最大值问题的2种常用方法；2 .当矩形周长一定时，最大面积时是正方形。3 .用定值周长围成的平面图形中，圆的面积最大。