2023年一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结.docx

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1,平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点0（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:X轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a,b）表达,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后，中间有“，”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当WZ?时，（a,b）和（b,a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特性1、各象限内点的坐标的特性点P（,y）在第一象限OX>0,y>0点P（x,丫）在第二象限0%0,>0点P（x,y）在第三象限U>x<O,y<O点P6,丫）在第四象限01>0,丁<02、坐标轴上的点的特性点P（x,y）在X轴上。y=O,X为任意实数点P(x,y)在y轴上OX=O,y为任意实数点P(x,y)既在X轴上，又在y轴上OX,y同时为零,即点P坐标为(0,0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上OX与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上OX与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于X轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于X轴、y轴或远点对称的点的坐标的特性点P与点P，关于X轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p'关于y轴对称O纵坐标相等,横坐标互为相反数点P与点P'关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(,y)到X轴的距离等于Iyl点P(,y)到y轴的距离等于忖(3)点P(x,y)到原点的距离等于庐中知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,假如对于X的每一个值，y都有唯一拟定的值与它相应，那么就说X是自变量，y是X的函数。2、函数解析式用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表达法及其优缺陷(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个具有这两个变量及数字运算符号的等式表达,这种表达法叫做解析法。(2)列表法把自变量X的一系列值和函数y的相应值列成一个表来表达函数关系，这种表达法叫做列表法。(3)图像法用图像表达函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般环节(1)列表：列表给出自变量与函数的一些相应值(2)描点：以表中每对相应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四,正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地,假如y=1+b(k,b是常是kO),那么y叫做X的一次函数。特别地，当一次函数y=履+6中的b为。时,y=Zx(k为常数,k0)°这时，y叫做X的正比例函数。所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的重要特性：一次函数y=kx+h的图像是通过点（O,b）的直线；正比例函数y=kv的图像是通过原点（0,0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特性k>0b>0_/kyL/X图像通过一、二、三象限，y随X的增大而增大。b<0y0/图像通过一、三、四象限,y随X的增大而增大。K<0b>0y,图像通过一、二、四象限,y随X的增大而减小b<0rLX图像通过二、三、四象限，y随X的增大而减小。注：当b=0时,一次函数:为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数y=Zx有下列性质:（1）当k>0时，图像通过第一、三象限,y随X的增大而增大;(2)当k<0时，图像通过第二、四象限,y随X的增大而减小。5、一次函数的性质一般地,一次函数y=ZX+b有下列性质：(1)当k>0时,y随X的增大而增大(2)当k<0时，y随X的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就是要拟定正比例函数定义式y=Zx(k0)中的常数ko拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式y=Zx+6(k0)中的常数k和bo解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地,函数y=K(k是常数，ko)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=K-X的形式。自变量X的取值范围是XWO的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xHO,函数y0,所以，它的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的拟定拟定及误是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=幺中,只有一个待定系数，因此只需要一X对相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数），二七（女WO）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形XkPMON的面积S=PMPN=HW=同。Py=一,孙=SS=M知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如特丁=办2+"+以4也。是常数，0）,特别注意a不为零那么y叫做X的二次函数。y=or?+尿+eg,。,。是常数，。0）叫做二次函数的一般式。二次函数的图像是一条关于X=-A对称的曲线,这条曲线叫抛物线。2a抛物线的重要特性：有开口方向；有对称轴：有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y=ax2+hx+c与坐标轴的交点：当抛物线与X轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Do将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。当抛物线与X轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点(1)一般一般式:y=ar?+云+。(4,瓦。是常数,aQ)(2)两根当抛物线y=+u;+C与X轴有交点时,即相应二次好方程办2+/+c=0有实根匹和马存在时，根据二次三项式的分解因式4小+bx+c=a(x-x)(x-2),二次函数y="2+云+c可转化为两根式丁=4(%一2)“一£)。假如没有交点，则不能这样表达。a的绝对值越大,抛物线的开口越小。三顶点顶点式：），=。（上一）2+攵（4/2次是常数，（）知识点八、二次函数的最值假如自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-2时，2a_4ac-b2总值=Fr假如自变量的取值范围是玉x%2,那么，一方面要看-2是否在自变量取值范围须XX22ab4acb?内，若在此范围内，则当=-2时，y=WC。；若不在此范围内，则需要考虑函数在2a啊4aX1xx2范围内的增减性，假如在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2时，y最大=。君+Zu;2+*当X=Xl时、）小小=以；+h+C；假如在此范围内，y随X的增大而减小，则当X=Xl时，y般大=+bxl+Cf当X=X2时，）'母小=ax2+bx2+c<,知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质二次函数y=ar?+r+c（也C是常数，.0）a>0a<O图像y性质(1)抛物线中平匕并向上无限延伸：(2)对称轴是X=-,顶点坐标是2ab4ac-b2(一,7)；2a4。(3)在对称轴的左侧,即当x<-2时，y随X的2a增大而减小；在对称轴的右侧，即当X_L时，y随X的增大而增大，简记左2a减右增；(4)抛物线有最低点,当x=-上时，y有最小2a也4ac-b2值，y最小值二一(3)在对称轴的左侧，即当x<-2时,y随X的2a增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>-2时，y随X的增大而减小，简记2a左增右减；(4)抛物线有最高点,当乂=-2时,有最大2a任4ac-b2值，y最大值二一一2、二次函数y=02+b%+c(,b,c是常数,40)中,.、b、C的含义:。表达开口方向：。>0时，抛物线开口向上<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为X=2aC表达抛物线与y轴的交点坐标：(0,c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其相应的二次函数的图像与X轴的交点坐标。因此一元二次方程中的=b2-40c,在二次函数中表达图像与x轴是否有交点。当（）时,图像与X轴有两个交点；当A=O时,图像与X轴有一个交点；当v时,图像与X轴没有交点。知识点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当碰到没有思绪的题时,可用此方法拓展思绪,以寻求解题方法）ym如图：点A坐标为（X,y）点B坐标为（x2,y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为J（M-X2+（%-%FA*0XB2,二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式.v=（x-+z,拟定其顶点坐标仅，攵）；保持抛物线=r2的形状不变，将其顶点平移到小，A）处,具体平移方法如下:y=2向右30）1或左优0）】 平移阳个单位向上（Qo）或下（10） 平移因个单位向右30）【或左（辰0）】 平移阳个单位向上（QO）或向下仕0）】平移因个单位 -A y=ax-+k向上（QO）或下依0）】平移因个单位 ALy=WJM+A向右（力0）【或左SV0）】 平移比I个单位y-a(x-h)-平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;A值正上移，负下移”.函数平移图像大体位置规律（中考试题中，只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆一同左上加异右下减（必须理解记忆）说明函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：y_yb为直