数值分析-练习题.docx
函数f(x)=Sin号，给出该函数在点0,0.5,1,1.5,2上的二次最小二乘拟合多项式.给出公式中的参数,使其代数精度到达最高，并指明代数精度，用它计算积分JlOgn)XdX1bf_fMdx=-(/(«)+)+(a)-fb).写出下面线性代数方程组的Jacobi迭代格式,并说明它是否收敛用Euler公式求解下面的常微分方程初值问题,dy- = x+V-I, dxJ(O) = L 0xl取步长 = 0.2：利用ChoIeSky分解计算方程组的解12-125-1用牛顿插值法计算满足下面条件的三次多项式MI)=5/6,P=17/3,p(3)=31/2,p(4)=973.下面题目为编程题，请勿手算，请只用Matlab语言.七、(io分)切比雪夫函数KC)定义如下："(X)=LT1(x)=x,11+1(x)=2xTn(x)-Ti(x)编程画出7；。)到心(外在区间T，U上的图像.有两个Matlab函数文件定义如下：文件1functionV=f(x)v=-cos(x);文件2functionZ=g(x)z=x*log(x)-l;请编写一个二分法求根的程序，给定初始区间，给出求解这两个函数根的恰当的调用方式.解：一、给出一个收敛的迭代方法计算非线性方程XInX=2的根，要求得到的根的近似值至少有5位有效数字.二、利用LU分解求解下面线性代数方程组-2-2三、求函数/(X)=在区间, 1上的二次最正确平方逼近多项式.四、函数y=10g2%有函数值表如下1/2利用三次插值方法近似计算log23.五、确定下面积分公式中的参数，使其代数精度到达最高，并指明代数精度:2/U)dx=-1(-l)+(0)+ty1(l)-2下面题目为编程题，请勿手算，请只用MatIab语言.六、(16分)微分方程初值问题如下:dy1=cosy+logx,dxy(l)=2,lx3.(1) 利用Matlab中的函数求出该微分方程初值问题的数值解，并画出其函数图像;(2) 利用上面小题的计算结果，求函数y=y(x)在区间1,3上的复合梯形积分的积分值.七、编写一个Gauss-Seidel迭代方法求解下面线性代数方程组Ar=力的解，矩阵的维数由命令行输入：2，bj=Inj,i,jn.要求程序设置有最大迭代步数以及控制精度.计算如下矩阵的LU分解.-2IoO12Io01210012函数f()在节点殉,X1,X2上的函数值以及一阶导数值如下表:X012f()004F(X)020求一个5次多项式P(X),满足勒让德递推公式X(X)=7;XPn(X)nP")Po(x)=l,P1(x)=x推导三点高斯勒让德求积公式12于(XydXNEcDi于(Xi)_Z=O并用该公式计算*exsinxdx.1pLb1,考虑线性方程组Ax=b,其中A=M1(P为实数)J=®,(1)写出该方程的高斯-赛德尔迭代格式.(2)证明：当IpI时，高斯-赛德尔迭代发散.用欧拉公式计算如下微分方程在步长=0.1时的近似解.W=4(盯1),axy(O)=1,0X0.5.以下三题为Matlab编程题：六、(12分)函数y=f()的实测数据组如下表，试用最小二乘法求二次多项式曲线与此数据拟合.Xi-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00yi-0.2209032950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836用牛顿法计算方程3-/-1=0在*0=1.5附近的根，要求满足精度IXE-Z104.用乘哥法和反哥法计算对称正定矩阵A的条件数Cond2（八）=溜，其中入I（八）和入n（八）分别是矩阵A的最大和最小特征值.用高斯消去法或三角分解法求解线性代数方程组123-1'一2一'5'2-19-7电3-34-319X3174-26-21_X4_-13函数人乃在节点处的函数值及一阶导数值如下:i0123×i1235/(X1)8340r,(,)0求四次插值多项式求函数f(%)=SEX在0。上的线性最正确一致逼近.试写出该方程的逐次超松弛迭代格式（松弛因子为0.9）,并讨论该格式的敛散性.用改良欧拉法Y“，+1=）+八，区ZQlJ*计算常微分方程初值问题-=(l+2)y,OX1dry(0)=1,的数值解，取步长h=OZ数据Xi13579%22112试用最小二乘法求形如4无）=Q+加的拟合曲线.以下两题为MatIab编程题：七、（10分）用牛顿法计算方程在炉-3彳-1=°在x=2附近的根，要求满足精度lxk+LXkIVIe-7八、（12分）用乘累法计算矩阵4O21512973413342621的按模最大特征值与对应的特征向量.3213设A=221,b=2,将A进行CholiSky分解A=LZ7,其中£：下三角矩阵，并由111J2此求解线性方程组AX=从对线性方程组2x1-x2+x4=1x1-x3+5x4=6x2+4x3-X4=8设法导出使JaCobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛的格式，要求分别写出格式，并说明收敛的理由。确定系数,c和4,使得以下函数S(X)= <lx<22x33(x-1)+2(x-1)2-(-1)3,u÷bx-2)+C(X-2)+dx-2)是一个三次样条，且j(x)公最小。4、(15分)求拟合以下数据的线性最小二乘多项式解。确定以下带权求积公式中的系数A3使其代数精度最高，指明代数精度:(x)xtZx4/(0-289949)÷(0.821162)并用上述公式近似计算积分je*FdXo推导以下数值微分公式fM.4/(X+h)-3(x)-/(x+2切并证明它的误差项为h2fo)以下面的函数头完成牛顿法求方程的根的程序：functionxjt=newton(f,g,xO,tol),其中：/为非线性方程所对应的函数，g为/的一阶导数，毛为迭代初始值，切/为允许精度。并编写一段调用程序来求解*)=f+2叱+/在_2,2内的一个根，要求初始值取XO=L迭代精度控制WTJKK)1以下面的函数头完成4阶Runge-Kutta方法解常微分方程初值问题的程序：functionx,y=oderkAf,a,b,h),其中：/为常微分方程的右端项，。,人为求解区间的左右端点，为自变量的步长，x,y分别是计算完成时的自变量取值和对应点上的函数值.并编写一段调用程序来求解以下常微分方程初值问题。步长力=0.01心=孙2,0ldxXO)=1此处的4阶Runge-Kutta方法的公式如下：i=+i+2÷2+)Ok=hf"y)，2=Wn+p+y)k4=hf(xn+h,yn-k3)将A进行LU分解，其中£：单位下三角矩阵，U：上三角矩阵，并由此求解线性方程组Ax=A.对线性方程组3X1OX>=79x1-4x2=5(1)问用JaCObi迭代和GaUSS-Seidel迭代求解此方程组是否收敛？并说出理由.(2)设法导出使JaCObi迭代和GaUSSSeidel迭代收敛的格式，要求分别写出格式，并说明收敛的理由.确定系数。,瓦C和d,使得以下函数,、3(x-l)+2U-l)2-(x-l)x<2S(X)=2aa+b(x-2)+c(x-2)2+d(x-2)392x3是一个三次样条，同时具有性质SW=S，(3).求以下数据表的最小二乘三次逼近多项式.X-10123/()-3-1339161确定以下求积公式中的系数AB使其代数精度最高，指明代数精度:11f(x)dxAf(-j=)+并完成以下两个问题：(1) 用上述公式近似计算积分je*公.1(2) 将1,1.5分成两个区间，用它的复合求积公式近似计算积分je7x.1计算以下表达式中的系数A8,C,fx)Af(x0)+Bf(X)+Cf(x2)使得它对以下三个多项式能精确成立：Lx-王,*-演)2,其中XOX2,X-Xo=，X2-X1=ah.以下面的函数头完成牛顿法求方程的根的程序：functionx,it=newton(f,gyx,tol),其中：/为非线性方程所对应的函数，g为/的一阶导数，毛为迭代初始值，加/为允许精度,X是迭代完成时的解，"/(x)=d+2f+10-20在1,2内的一个根，要求初始值取=1,迭代精度控制人-4/。0工以下面的函数头完成反骞法求实矩阵的按模最小的特征值和其对应的特征向量的程序：functionx9lam,it=anpow(A,(),tol),其中：A为输入的矩阵，与为初始迭代特征向量,tol为精度控制参数,X,lam,itAxjt-12<106.
