数值分析-方程组题库.docx
例5/0求矩阵Q的IIQIIi,IlQbIIQllOO与Cond2(Q),其中111-11-11-1-111-1-11；分析这实际上是根本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答(1)由定义，显然IiQh=4因QTQ=41,½lll2=Aa(r)=4=2(3)由定义显知Q%=4(4)因QTQ=41,故QT=,Q'从而(QT)T(QT)=。丁416Q-ill2=4aJ(',)(Q,)=j'ma(而0°7)=jma(J)=所以Cond2(C)=IieH2-H,ll2=2i=l例512设有方程组AX=b,其中(1)U02A=221,b=-22)2<3j它有解X2_30.如果右端有小扰动Il劭L=glO-6,试估计由此引起的解的相对误差。分析此题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出ColKL（八）,再由有关误差估计式即可算得结果。解答容易求得Jl1-PAT=211.5,从而COndS（八）=22.21-1?由公式上竺JLCondyz（八）有IlXIlxIIbL-22.5X2=1.6875X105股XlR2/3例5/3试证明矩阵A的谱半径与范数有如下关系O（八）A其中IIAll为A的任何一种算子范数。分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。证明由特征值定义，对任一特征值有AX=X(X0,特征向量)取范数有lAX=.IIXII由于范数IlAll是一种算子范数，故有相容关系AXAIIXII从而.X<AIIXII由于X0,故A,从而P（八）HAH例5J8设A,B为n阶矩阵，试证Cond(AB)Cond（八）Cond(B)分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。证明Cond(AB)=IIABHH(B)-iIIAllIl3|Il8TATIIIAIIiIBIIlIblHIATlI=IlAlllIdIIBIITId二Cond（八）Cond(B)例519设A,B为n阶非奇异矩阵，卜|表示矩阵的任何一种算子范数，试证Il4-JbII47|bHU4-BIl分析由矩阵范数的根本性质即可推证。证明(1)A-xA=I,因为卜Il是算子范数，故Il4IRI=1-,A<A-1LUH故Il,A1IlA”(2)A-B=',(B-A)B),从而IlA-i-B-iII=IIA-(B-A)BIld"4B"即HA-i-Bl-1LUBA-B例520设A为n阶非奇异矩阵，且有三角分解A=LU,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。求证A的所有顺序主子式均不为零。分析因为要证A的所有顺序主子式均不为零，故把A=LU按分块的形式写出比拟好，再由A的非奇异性即可推证。证明设将A=LU按分块形式写出那么有AAiy2214从而由矩阵的分块乘法有Ak=LkUk,(k=1,2,n)因为A=An=LnUn非奇异，故detA=delL”detU=det(7n=w11w22w,wO从而detAk=detLkdetUk=detUk=unu22-ukkOAk非奇异，A的所有顺序主子式不为零。例5-22非奇异矩阵不一定都有LU分解。分析这只需要举一个例子就行了。一般举例子尽量要简单些，而一个恰当的例子往往需要经过几次反复的“失败一修正”后才研究下来。解答考虑矩阵O1O,显然A非奇异，假设A有LU分解，那么有U0)b4f)bdbecf)于是ae=bd=l,而ad=O,显然矛盾。故该非奇异矩阵不存在LU分解，所以说并非非奇异矩阵都有LU分解。例5-4设4=(为)£R"是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后A约化为T%OA2_其中A2=(42)R(N)XSf,证明(1) A的对角元素即>0,i=l,2,n；(2) A?也对称正定；。俨4/=2,3,心;(4) maxIa，maxaii。2i.jnj2i.j<ni证明(1)因A对称正定，故ii=(Aei,ei)>0,i=l,2,，n其中4=(0,0,瓜,O)7为第i个单位向量。(5) 由A的对称性及消元公式得故Az也对称。又即叫=IIA0A2J其中-114一:.j显然Ll非奇异，从而对任意的xW),有1.0,(x,L1ALx)=(LX,ALx)>0由A的正定性)故Zq4L；正定。all0又L/=11,而>0,故A2正定。0Ao(3)因A正定，故au>0,故由消元公式有喏)=ali-lf=aii-aii,i=2,39-,nan«11(4)先设=maxI¢2)I,取,”2iJnhux=(0,.,0-f§0,Qsign&T),0,0)r那么X7Xx=W)-2afp+¢2;<0,与A2正定矛盾,故/,Wo'JoJnmaxI碍)H噬|2<i,jnj典由(1),有I。翁I=maxI婿)max出=maxaij|'mi2n2n2<,jn'1例514设A是任一n阶对称正定矩阵，证明IlXllA=CAr户是一种向量范数。_证明(1)因A正定对称，故当=0时，xa=O,而当XHO时，IIxII4=(XrAr)1>0o(2)对任何实数c,有cxA=yl(cxYA(cx)=cyxrAx=cxa(3)因A正定，故有分解A=LLT,那么IlXIlA=(XTAr户=(XTLzZx户=(LTX)/(L7X)户=IIrx2故对任意向量X和y,总有IIfIIA=IlLTa+y)Il2=Il+yIl2SlIl2+Il2Ha+11jIIa综上可知，IlXllA=(/AX/是一种向量范数。例515设A=(%),x.证明IIAII=I是一种矩阵范数。i=j=证明IIAII=TW%O,且IlAIboOA=0。/=1=1(2)对任意实数c,有IleAII=%I=ICIW为I%I=IclIlAIlr=IJ=Ii=lJ=I(3)lA+B=传+&I¾+%I=IIA+B=1j=li=lj=»=17=1IlABW=¾¼%i=j=Jt=I/=1=lA=I()()HIAIl-IlBII=l*=1*=1J=I故IIAIl是一种矩阵范数。003010Ill100DIOlOl例5-19计算COnd（八）8及Cond(DA%;其中111110IO21IO2IO4此结果说明了什么？10000-HOO10-1100Illl-1110-111解A-1=!8910MIL=Ioioi,IIATllooiI=瞿oV1U故COnd（八）OO=IIATILllIIAlLj叫:Huo125968910111333DA=110100IllIllIll110010000JOlOl1010110101_"100040703367-297297297(DAy1=1003737336727027027014073367_297029702970_Cond(DA)xJlDAIIJIl(DA)Th=IX砺r28计算结果说明了用对角阵左乘A可以改善其条件数。例 5-202.0001 -1 ,b = -217.OOO3-7Ax=b的精确解为x=(3,-l).(1)计算条件数Cond（八）x;(2)假设近似解元=(2.97,7.01)"计算剩余向量=而；(3)利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比拟。此结果说明了什么？解 (1)0000 10000 - 200 201Cond(A)a2 =U ATiIJIIAk40001 × 3.0001 120012r = b-Ax =-7.0003 2.0001k -2-1T2.971 I-LOl0.05 -0.05(3)由事后误差估计式，右端为而左端Cond(A)00IIHIxINL120012 ×0.057.(XX)3 857.192IImIlxL().03= 0.01这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余IIrIl很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用IlrII大小作为检验解的准确度是不可靠的。-2-1-例5-21设对称正定阵A二,试计算A/2,A2和COnd(A”,且找出b(常数)及扰动-12b,使Illl2Ilxll2=Cond(A)2IlMIl2TmT2-21解|一Al=矛-4；1+3,故4=1，4=3,从而1%2IlAII2HA2=3,HX-1H2=I11=1Cond（八）9=山=32U1I假设x÷x=y,A(x+x)=b+b取b=(l,l)T,b=(l,l),那么解Ax=b,即-2-ITx1Il'12X21-2,KKo<42得y=(33KnrHH22."=(Ll)，7丁=1二3IiXIl2123Ci2置"2情=3包二Cond(APIlxll2Il现例 5-22求下面两方程组的解，并利用矩阵的条件数估计1迎IIXil240-179-319 X1240即 Ax=b240-179.5-319.5Tx1240 1，X2240-179-319240O -0.5-0.5 O，那么Ax=b的解X =,而(A + M)(X + x) = b4、，从而IlXlI8=4,Il 蜃IlOO=4,而A-'1 240 319499 179 240559Cond(A)ix =IIA-' HJI A Il00=-×559 626.2499IlMh = 0.5 , Il ATlLil 朋 IL = -X 0.5 0.56012499由误差估计得Cond(A)00llxll00 I-Cond(A)IlMLIlAILaIl 朋 IL8 Il AILIl L 1.
