数值分析习题第四章.docx
第四章习题1.确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(x>A.1(-)+A)(0)+AJ;J一(2)J；A,(-)+Aj(O)+Aj(h)；1j(4Zr/(-1)+2)+3(x2)3；£fxdx(0)÷/()/2+ah2/'(0)+/1()解：(1)求积公式中含有三个待定参数，即A0,4,将/(x)=l,%/分别代入求积公式，并令其左右相等，得AT+A=2*-hl+A1)=0解得AT=A=；0，A)=gz°2(a1+a1)=3所求公式至少具有2次代数精度。又由于dx-(-)3+(ft3)卜"Xw(-")'+的4)故£/(大班4j(-z)+4/(0)+AJ(Zz)具有三次代数精度。(2)求积公式中含有三个待定系数：A,1,o,A1,故令公式对/(x)=LX,，准确成立，得A_+0+A=4万，一MAI+A)=0,解得AT=A=力，o=4/?2Al=4h=h2U.,÷A)=j3333故J；/(MXI从/(-力)+/()-1(o)j-2h33因J：/(4Zr=O而，卜研+R=O又1人丝皿占心+川J-2力533lj所以求积公式只具有三次代数精度。(3)求积公式中韩两个待定常数阳、x2,当令公式对F(X)=I准确成立时，得到£i=2=(1+2+3)此等式不含有待定量七、X2,无用，故需令公式对/(x)=x,炉准确成立，即JJYZr=0=(-1+2x1+3x2)f产"H+M)2x1+3x2=12*+3W=I解上述方程组得X2 = 0.52660 x1 = -0.28990X2=-0.12660-或，X1=0.68990故有1(x>Zri(-1)+2/(0.68990)+3/(-0.12660)或,(x>Zr(-1)+2/(-0.28990)+3/(0.52660)将/(x)=d代入上已确定的求积公式中，,3dr-l+2+3lJT3故求积公式具有2次代数精度。(4)求积公式中只含有一个待定系数。，当/(x)=LX时，有.4hpdr=-(l÷l)÷0xdx=p+h)+ah1y-)故令/(X)=/时，求积公式精确成立，即=(0+A2)+z2(2×0+2A)解得。=-!-12故有ff(x)dxI/(O)+/()+巳(0)+广()将/(x)=/代入上述已确定的求积公式中，有刎川+得-3川4再另/(x)=x4代入求积公式时有hX3dx=-()+/?4+-o-431JO42lj12l故求积公式具有3次代数精度。2 .分别用梯形公式、SimPSOn公式、COteS公式计算积分ZU,并估计各种方法的误差(要求小数点后至少要保存5位)。解：运用梯形公式，£exdx1e0+=1.8591409其误差凤川=-4/(I-。)'=0.2265235J(,l)(实际误差Wl/公一1.859140,=0.1408591)运用SimPSOn公式，e"dce°+4e*+e=1.7188612其误差为同/)二-e=0.000943851"2880288011112运用Cotes公式,= 1.718282688fexdx-7e0+324+12e2+32e4+7e,Io70其误差为IR(F) =2x111、945l4>945 ×46=0.0000014043 .推到以下三种矩形求积公式；ffxdx(b-a)f(a)+乙用(b-af(¼(b-a)fb)-0-a)2£了(XHX(b-)./(彳+(b-a)2解：将/(%)在=。出Taylor展开，得/(x)=f(a)+f,(x-aeafH,两边在,b上积分,得£0¼=£f(a)dx+£flx-a)dx=0-。)/(。)+二俗一)(")+7(")f(x-卜工=(Z?-a)f(a)+a)2,三a,h将/(x)%=b处TayIor展开，得/(x)=0)+TG)(x-3,两边在LU上积分，得f/(XMX=ff()dx+£,(Xx-b)dx=0。)/卜)+ff'(Xb)dx二俗一)()+广()(加=(Z?-a)f(a)+1,(XZ?-Z>)2,77mh将F(X)½g处TayIOr展开，得/(x)=(*+若M等)+/小_*，三«.b两边在L，U上积分，得fs砒管"(学此-审卜+第尸出-若"=0。)/)+1/''("X匕一。)3,式小司4 .用以下方法计算积分，?，并比拟结果。(1)Romberg方法；(2)三点及五点GaUSS公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点GaUSS公式。解：用Romberg算法穹=一O/WT* =碇)=；TO(TI = L2,mrp(k + ) _ J()f MT ' "I4m,k = 0,b, I m ni = L2,计算，计算结果如表4.1表4.1k£)心)(*)Ty)O1.3333331.1111111.0992581.098630I1.1666671.0999991.09864021.1166661.09872531.10故3-J1.098630(2)用三点及五点GaUSS-Legendre求积公式，需先对求积区间1,3作如下变换，令y=；(+A)+g(b-)f=t+2那么当yl,3时，r-l,l,且dy=df,三点Gauss公式 0.555555'+ 0.8888889×2.0 + 012+0.77459672-0.7745967)=1.098039283五点Gauss公式 0.2369269×2 - 0.9061978 + 2 + 0.9061798+ 0.4786289xk 2 - 0.5384693 + 2 + 0.5384693+0.5688889×-2=1.098609289(3)用复化的两点GaUSS求积公式计算，需将1,3四等分，那么>2-dt-ir -dt + y Jldt-2.5 1 dt +2 ydtP dtJ2 5 y1,7 J-Idt2皿 +。勺it2,5÷0,5×(-3,z2) + 2.5 + 0.5×(3,z2)+ 3.5 + 0.5×(-3-,z2) + 3.5+ 0.5×(3",z2)+ 4.5 + 0.5×(-3q7)+ 4.5 + 0.5 ×(3M/2)+ 4.5 + 0.5 × (- 3q7)+4.5 + 0.5(3=2)=1.098537573I='F)，的真值为I=1.0986122895.用三点公式和五点公式求/(H=厂二在x=1.0,1.1和1.2处的导数值，并估计误差。/(x)的值(+M由表4.2给出。表4.2X1.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736解：三点求导公式为12()=7-3()+V(1)-(2)÷-"(o)2113,)=-()÷G2)-1,fe)2n6,()=()-V(x1)+3(x2)÷2,fe)2n3上表中取XO=1,x1=LbX2=1.2,分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于f'GJW麟尸二I则湍卜十°-75故可得误差及导数值如表4.3表4.3X1.01.11.2三点公式-0.24792-0.21694-0.18596/1M-0.25000-0.21596-0.18783理论误差值0.002500.001250.00250实际误差值0.002080.000980.00187
