4.3.1等比数列的概念（八大题型）.docx
4.3.1等比数列的概念【题型归纳目录】题型一：等比数列的判断题型二：等比数列的通项公式及其应用题型三：等比数列的证明题型四：等比中项及应用题型五：等比数列的实际应用题型六：等比数列通项公式的推广及应用题型七：等比数列性质的应用题型八：灵活设元求解等比数列问题【知识点梳理】知识点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0）,即：也=4（q0）.an知识点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此夕可不能是0；“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数g”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；隐含条件：任一项凡工。且夕HO;“外工0”是数列“成等比数列的必要非充分条件；常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为。的常数列是公比为1的等比数列；证明一个数列为等比数列，其依据%L=q（"eN",夕0）.利用这种形式来判定，就便于操作了.an知识点二、等比中项如果三个数4、G、b成等比数列，那么称数G为。与b的等比中项.其中G=±旅.知识点诠释：只有当。与人同号即必0时，。与b才有等比中项，且。与b有两个互为相反数的等比中项.当。与人异号或有一个为零即必40时，与6没有等比中项.任意两个实数。与b都有等差中项，且当与。确定时，等差中项C=空辿唯一.但任意两个实数。2与b不一定有等比中项，且当。与b有等比中项时，等比中项不唯一.当成0时，aG。成等比数列=9=2=G?=出?QG=±7.aGC?=而是。、G、6成等比数列的必要不充分条件.知识点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为4,公比为夕的等比数列q的通项公式为：推导过程：(1)归纳法：根据等比数列的定义区=q可得/=”闻(2)：an-.*.a2=WqA；4=出9=(4夕)夕=aQ1=qq=；=a3q=(ClIqI)q=1g3=14,;当=1时，上式也成立，归纳得出：4=%qi(nwN*,a1f0).(2)叠乘法:根据等比数列的定义&=g可得：an-"=q,4=Q>a2*=q,。3an-把以上-1个等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得：%=gM,即=4t52)又0也符合上式.*.an=aq"T(N*,alqO).(3)迭代法：.*.an=a1g"T(eN*,aiqO).知识点诠释：通项公式由首项4和公比“完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.通项公式中共涉及4、4、勺四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广已知等比数列七中，第相项为乙，公比为夕，则：证明：F=qq0,amaqm-'4=arnq"f由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式%=%q"（nwN*,alg0）可以看成是m三=l时的特殊情况.知识点四、等比数列的性质设等比数列&的公比为g若m,n,p,qwN.,且相+=+q,则aman=apalt,特别地，当m+=2p时aman=Qp.下标成等差数列且公差为”的项4，4+2-组成的新数列仍为等比数列，公比为“若为,"是项数相同的等比数列，则%、K_1>K（一是常数且比0）、）、（mwM,m是常数）、,r也、%也是等比数列；连续2项和（不为零）仍是等比数列.即耳，SVi-Sk,S-S”，成等比数列.知识点五、等比数列中的函数关系等比数列4中,4=4T=21,若设C=幺，则：ancqnqq（1）当¢/=1时，a.=c,等比数列6）是非零常数列.它的图象是在直线y=C上均匀排列的一群孤立的点.（2）当夕>0且g工1时，等比数列q的通项公式q=cq"是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线y=色（"0且夕HI）上的一些孤立的点.q当4>1且4>o时，等比数列凡是递增数列；当q>l且q<0时，等比数列仅“是递减数列：当0<q<l且4>0时，等比数列%是递减数列：当0<夕<1且4<0时，等比数列,是递增数列.（3）当夕<0时，等比数列6是摆动数列.知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.【方法技巧与总结】等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（I）基本步骤：运用方程思想列出基本量4和9的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量.【典型例题】题型一，等比数列的判断例1.（2023全国高二随堂练习）将公比为夕的等比数列6,%，%，依次取相邻两项的乘积组成新的数列“2%，.此数列是（）.A.公比为4的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列【答案】B【解析】设新数列为也,则b0二44”因为q为等比数列，故见工0,故b,产0,而3=也1=q2,故也为等比数列且公比为Dn-Ian-an故选：B.例2.（2023高二课时练习）已知数列%是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（）阈%+一四A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设等比数列q的公比为g（q）,2/2对于，Q=4=力，.数列忖为等比数列，正确；a"/对于，当“=-1时，cn+a,l+l=0,此时数列4+4t+J不是等比数列，错误；1对于，QL=.=L数列上为等比数列，正确；±%+qIAJan对于，W=2%-%=24（i）,当夕工1时，2%不是等比数列，错误故选：B.例3.（2023贵州黔东南高二校考阶段练习）数列1,1,11,必为（）A.等差数列，但不是等比数列B.等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C【解析】数列1,1,1,，1,是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.故选：C.变式1.（2023江西南昌高一校考阶段练习）如果数列%是等比数列，那么（）A.数歹jlgq是等比数列B.数列2""是等比数列C.数列吗是等比数列D.数列4是等比数列【答案】C【解析】对于C设等比数列”的公比为4（q0）,则乎=4,->/2所以攀=21j=夕2为非零常数，则数列d是等比数列，故C正确；a2"对于ABD,取&=2",则,=F=2,数列,是等比数列，则4=1,«2=2,%=4,Igfl1=0,lg2=lg2,lgd3=lg4,所以0g%）2lg4lg43,则数列lg%不是等比数列，故A错误而2例=2，2“2=4，23=16，显然啰了工2”2的，所以数列2%不是等比数列，故B错误.而4=1,2%=4,3%=12,则（物）2工4乂36，所以数列q不是等比数列，故D错误.故选：C.变式2.（2023上海虹口上海市复兴高级中学校考模拟预测）数列%中，"4.1=2可”是"是公比为2的等比数列'的（）.A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对数列,%=2%,若=。，则可得出=%=%=0,此时可）不是公比为2的等比数列；若%是公比为2的等比数列，则为l=2,即%.产24，故n+=2凡”是“%是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选：B变式3.（2023高二课时练习）已知qt是公比不为1的等比数列，则以下数列：心为；4；an+l;；卜其中等比数列的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】设等比数列SJ的公比为4（q0,qHl）,则尸0,竽=4'对于,因为养=2册“口=收%不是常数，所以2“"不是等比数列，故不正确；2/对于，察=TJ=为非零常数，所以忖是等比数列，故正确；对于，%1=q为非零常数，所以4+J是等比数列，故正确；a"+对于，$为非零常数，所以2q是等比数列，故正确；I对于，为非零常数，所以,是等比数列，故正确.±-qanan故选：D【方法技巧与总结】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0）,即：-=q（qO）.an题型二：等比数列的通项公式及其应用例4.（2023高二课时练习）在等比数列勺中，已知6=-3,q=2,求牝;已知4=,q=2,勺=16,求；(3)已知4=g,a1=9,求q；3(4)已知夕=-,a4=-27,求a.【解析】(1)等比数列4中，。尸一3,q=2,贝J6=-324=-48(2)等比数列a,J中，4=1,4=2,art=16,由M=I6=1x2"，可得=5.(3)等比数列q中，q=g,%=9,rtl7=9=×,可得g=i3T.(4)等比数列q中，=-,«4=-27,由包=-27=(-1)%,可得4=8.例5.(2023.高二课时练习)等比数列q满足：+a="，9=三，公比六(。).求qj的通项公式.32【解析】由4+4=U，且q=aq=瓦，13232I则解得4=，以=岸，或4=*又公比”(0)，则数列叫为递减数列，aU321l132szfi1所以4="'4=5，则3=",'得。=5，则4吾=户"所以数列q的通项公式为可N"".例6.(2023全国高二专题练习)已知数列qJ的前项和S”满足：2S,=3&-1),N*.求可的通项公式；【解析】由已知2S”=3(ql1N*,当=1时，251=3(a1-1),解得a1=S=3,当2时，25m-i=3(1-1),则2a“=2S"-2Sl=3(6zm-1)-3(-1)=34-%小,即可=3%,所以数列4是以4=3为首项，3为公比的等比数列，所以a”=3x3”"=3”.变式4.(2023高二课时练习)已知数列(为等比数列.若4=3,4=-2,求%;(2)若%=20,“6=160,求%和q；(3)若e-4=15,a4-a2=6,求内.【解析】(I)因为数列4为等比数列，且6=3,q=-2,所以4=4夕'=3×(-2)5=-96,(2)因为生=20,4=160,所
