5.4.2正弦函数余弦函数的性质（8大题型）精讲.docx

正弦函数、余弦函数的性质重点：1、理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性；2、掌握正弦函数与余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小；3、会求函数的对称中心或对称轴方程难点：会求简单三角函数的值域和最值一、正弦函数、余弦函数的性质y=sinxy=Cosx图象V!y=sinx,xR/J)三cosx,xRIgU爬R匹×21-FH定义域RR值域1,11,1最值X=2k+一,%Z时，ymn=1,x=2k-ykeZtymin=-1X=2k,kZ0f,yw=1X=2k+,kZ11t,ya,n=-1周期性T=2T=2奇偶性奇偶单调性keZ在2豌-金2.+自上单调递增在2k+-,2+上单调递减22在2%-万,2k上单调递增在2k兀,2k+上单调递减对称性keZ对称轴方程：X=豌+乙2又寸称中/心(4肛0),ZwZ对称轴方程：X=A%对称中心(A4.0),AWZ2二、周期函数的定义函数y=(),定义域为I,当时，都有f(%+7)=(),其中T是一个非零的常数，则y=/(X)是周期函数，T是它的一个周期.1、定义是对I中的每一个"直来说的，只有个别的工值满足+)=/a)或只差个别的X值不满足/(x+)=/(x)都不能说T是y=/(x)的一个周期.2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.3、周期函数的周期公式2乃(1)一般地,函数y=Asin(公+e)(A,3,e为常数，且A0,3。0).的最小正周期7=-IGl(2)若函数,，=")的周期是T'则函数"ATM+。)的周期为两为常数且A°'0).三、三角函数的值域求法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式,一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如=Sin(S+0)的三角函数,令t=x+,根据题中X的取值范围,求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin的最值(值域).(2)形如y=asn2x+力Sinx+C(40)的三角函数，可先设Z=sinx,将函数y=asin2x+8Sinx+c(o0)化为关于/的二次函数y=。/2+初+c(O),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=sinM或y=cos尤)的函数的最值还要注意对a的讨论.题型一正余弦函数的周期性例1(2022.全国高一课时练习)下列函数中，最小正周期为的函数是()A.J=sinxB.>,=cosC.>,=cosxD.y=sin【答案】B【解析】对于A,函数V=sinX的最小正周期为2兀,故A不符合题意；对于B,作出函数y=8sM的图象，由图可知，函数yTeos1的最小正周期为,故B符合题意；对于C,函数y=85的最小正周期为2兀，故C不符合题意；对于D,函数ynsinW=1：”)，其图象如图，1.Sln,<.u由图可知，函数=SinW不是周期函数，故D不符合题意.故选：B.【变式B(2023四川绵阳高一南山中学实验学校校考阶段练习)函数/(x)=3cos(4xq的最小正周期为(A.彳B.yC.4D.8【答案】B【解析】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期丁=4=，故选：B.42【变式12(2023.北京延庆.高一统考期末)已知函数/(另=COSox(tw>0)t且的相邻两个对称中心的距离为2,则"l)+"2)+”2023)=.【答案】T【解析】由题意/(“最小正周期为丁=4,故G=与',所以f(x)=CoSe幻，则/=°J=T"(3)=°"(4)=1,则f(1)+/(2)+/(2023)=506x/(l)+/(2)+/(3)+/(4)-/(4)=-l.【变式13】(2023江西九江高一校考期中)函数/(x)=sinx+bsin2x+csin4x，也cR,/+c2o)的周期不可能为()A.B,2C.yD.1【答案】D【解析】当a=c=。，力HO时，函数八)="sin2x,最小正周期为T号=兀，故选项A可能；当力=C=O,4=0时，函数/(x)=sinx,最小正周期为7=2,故选项B可能；当=b=O,c0时,函数/(x)=CSin以，最小正周期为T=弓=方，故选项C可能；而对于选项D：/SiT+%°s%csi也=立O.L-立*则若T=方时，6=0,c=0,如=,sin竺+加in+csin啊=一3+且匕一走c,3J333222,令佃=信)，=°,所以"0为=0,C=OJ(X)=O，与题设矛盾，故函数/(x)="sinx+2Cs2x+csin4x(4,"ceR)的最小正周期不可能是W；故选：D.题型二正余弦函数的奇偶性【例2】(2023山东滨州高一校考阶段练习)下列函数为奇函数的是()A.y=sinx-lB.y=sinxC.y=3cosx÷lD.y=-sinx【答案】D【解析】由题意，选项中函数的定义域为R,关于原点对称.对于A中，函数/(x)=SinX-1,则/(r)=sin(r)7=_SinX_1/(力，所以函数/(x)为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数/(一力=卜出(-刈=卜inx=f(x),所以函数V=M训为偶函数，不符合题意；对于C中,函数/(r)=3cos()+l=3cosx+l="x),所以函数V=3cosx+1为偶函数,不符合题意；对于D中，函数/(r)=-sin(r)=SinX=-/(力，又y=-SinX的定义域为R,所以函数Y=-SiRr是奇函数,符合题意.故选：D.【变式21(2023北京海淀高三专题练习)函数/(x)=cos+)+sin(x+b),则()A.若a+=0,则/3为奇函数B,若。+b=5,则力为偶函数C.若。-,则/3为偶函数D.若i=,则/(x)为奇函数【答案】B【解析】/U)的定义域为R,对A：若a+b=0,/(x)=cos(x÷)+sin(x-),若/(另为奇函数，贝(J/(。)=。,对 B：若a + b = 5 , /(x)而/(0)=COSa-Sina=O不恒成立，故力不是奇函数；=COS(X+0)+sinx+-a=CoS(X+)+cos(x-),/(-%)=s(-+6/)+cos(-x-a)=cos(x-«)+cos(x+¢/)-f(x)故/(x)为偶函数，B正确；/()=cos(j+iz)+sinx+-+t7=2cos(x+t7),/(-x)=2cos(-x÷tz),故73不是偶函数，故C错误；对D：若a-b=l/(x)=cos(x+Z?+n)+sin(x+Z?)=-cos(x+Z?)+sin(x+/?),若"H为奇函数,则/(O)=O,而/(O)=YOSHSino=O不恒成立，故了(可不是奇函数；故选：B【变式22】(2023河北唐山高一滦南县第一中学校考期末)函数/(x)=siru,g(x)=cow,则下列结论正确的是(A . "x)g(x)是偶函数C . f()g()是奇函数B . f()g()是奇函数D . f()g(H是奇函数【答案】C【解析】选项A:因为/(x)g(x)=Sinxcosx的定义域为R,又/(T)g()=sin(-)s(-x)=-Sinwosx=-f(x)g(x),所以"x)g(x)是奇函数，故A错误；选项B:因为(X)Ig(X)=卜inHcosx的定义域为R,又/(r)g()=Wn(T)ICOS(T)=ISiiuI0三=(x),所以I")k3是偶函数，故B错误；选项C:因为/(x)Iga)I=SiMCo时的定义域为R,又f(T)Ig(T)I=sin(-x)cos(-)=-s三cos=-f(x)g(x)l所以X)Ig(X)I是奇函数,故C正确；选项D:因为(x)g(x)=卜加8冏的定义域为R,又I"r)g(r)=卜in()cos()=卜inxc<M=f(x)g(x),所以")g()l是偶函数,故D错误.故选：C.【变式23】(2022高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：cos ÷2 Icos(2 J(乃+力；/cc/COSX(2)f()=；I-Sinx(3)/(x)=JI-CoSX+Jcosx-I.【答案】(1)函数"力为奇函数；(2)函数/(x)为非奇非偶函数(3)函数"x)既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数“力的定义域为R,故/(-x)=sin(-2x)COS(T)=-Sin2xcosx=-f(%),故函数为奇函数(2)函数/(x)定义域为卜|x，2立+半z不关于原点中心对称，故函数/(X)为非奇非偶函数(3)由cos%=1，得函数/U)定义域为小=2S壮Z,关于原点中心对称，此时，f(jv)=Vl-Cosx+Vcosx-I=O贝(J有")=0=f(x),且F(T)=O=-f()故函数/(力既是奇函数又是偶函数题型三正余弦函数的对称性例3(2023广西南宁高一校考阶段练习)函数y=5sin*-少的一条对称轴为()A.彳=手B.I=?C.XqD.X=Y4234【答案】A【解析】函数-sin*-予的对称轴满足XW+E诋Z),解得x4+A*Z),令2=0,则x=%故选：A.【变式31】(2023.江西高一校联考期末)函数小)=2CoS(Uj图象的一条对称轴的方程为()ax="Tb=-Tc.=wD.x=不【答案】A【解析】若"x)图象的一条对称轴的方程为X=%,结合余弦函数图像，整体代入得：-E=E(AwZ),所以0=2E+IWeZ),经验证，只有A,当A=T时，符合条件，故选：A.【变式32】(2023四川凉山高一校联考期中)若函数/(x)=2sin(2x+o)的图像关于.v轴对称，贝心的值可能为()a?bcid?【答案】C【解析】因为函数/（x）=2sin（2x+0的图像关于丁轴对称，所以当X=O时，/U）取得最值，所以2x0+Q=巴+E,AZ,彳导9=m+A,&eZ,对于A,若夕=，则方=>履，解得&=-9Z,不合题意,对于B,若。=九，则加=AE,解得A=Z,不合题意，对于C,若O=4，则q=>E,解得A=TeZ,题意，对于D,若8=*,则，=*反,解得Z=TeZ,不合题意，故选：C66234万【变式33】（2022全国高一课时练习）如果函数产3cos（2x+9）的图象关于点（彳,0）对称，那么1例的最小值为（）【答案】A【解析】因函数尸3cos（2x+p）的图象关于点仔,0）对称，则有2号+O+*=,于是得9=伏一2）万一卷WZ,显然。=（A2）不一看又寸于左Z是递增的,OO而A=2时，0=,=3r当&=3时，9=，=rO