8_08-专题八立体几何-2024.docx

专题八立体几何一、单项选择题1.（2023届河南荥阳摸底,6）某圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）A.2B.-C.D.-22答案C设圆锥的母线长为1,底面圆半径为月则底面圆面积S=JI1底面圆周长为2r,圆锥侧面积×2rJ=nrli所以rl=2所以l=2ri所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为子=等二n,故选C.2.（2023届成都八中月考，10）已知正方形ABCD的边长为2,点E为边AB中点，点F为边BC中点,ED,DCF,ME”分别沿DEtDF,Er折起,使A,C,8三点重合于P点,则三棱锥尸-OE户外接球的表面积为（）A.B.3C.6D.122答案C如图，由题意可知PE上PF,PE上PD,PD上PF,且PE=PF=I,PD=2t故可把三棱锥20E/补全成长方体,则长方体的外接球即为三棱锥RQE/的外接球.设外接球半径为R,则（2而2=尸序+pf2+p02=+4=6.三棱锥尸-DE尸外接球的表面积为6.故选C.D3.（2023届河南焦作调研一，11）己知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD的体积为等,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）.222n1p.1A.B.-C.-D.-3223答案D如图，设上底面圆心为。，下底面圆心为。2,连接OCON,002.由圆柱的轴截面是边长为2的正方形,可知圆柱的底面半径为1,高为2.在AOCO中，CD=2,0G=2,则Smcd=×2×2=2.设A到平面OCD的距离为hi则%-bct）=2%y0D=2×SCD,九='i解得=.过。2作E/A8交圆。2于点E、F,则异面直线AB与CO所成角为NEo2。或其补角，过E作EH±CD于点H,则EH=h片,所以CzH=Vl-EM=1所以CoSNEo2。=署=即异面直线AB与CD所成角的余弦值为;.故选D.c（2334. （2023届黑龙江大庆月考一,5）凡n为不重合的直线,a/,为互不相同的平面,下列说法错误的是（）A.若mn,则经过myn的平面存在且唯一B.若aiaC=mtC=n,则m/nC.若CtjaC=rnt则LyD.若mua,nua,m/4,夕,则夕答案D对于A,若用,则由公理2的推论可得经过抽的平面存在且唯一，故A中说法正确；对于B,若afaC=mtC=nt则由面面平行的性质定理得mnt故B中说法正确；对于C,如图，设a11=a,11=bf在a内作CJ_。于点A,在尸内作d_Lb于点B,因为alt-Lf所以c-Ltd±,所以cd,所以ct因为aC=m,CU,所以C犯所以m±y,故C中说法正确；对于D,若nc,nc,mf小则与4相交或平行，故D中说法错误.故选D.5. （2023届昆明一中双测二,4）在正方体ABCD-ABCD中，0为底面ABCo的中心,E,尸分别为棱AiBhBlCl的中点,经过E,F,0三点的平面与正方体相交所成的截面为（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A如图,在“囚G中，因为EF分别为棱48,8G的中点,所以所AQ,叫AG由正方体的性质可知AlcIAeAlCl=AC,所以E3AC,因为点O在直线AC上,所以点A,GF,E确定一个平面,所以经过E,F,。三点的平面与正方体相交所成的截面为平面ACFEf即确定的平面是梯形,故选A.方法总结:立体几何中截面的作法若己知两点在同一平面内，只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.若平面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二个确定的点.若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按两个平行平面与第三个平面相交,它们的交线互相平行的性质，可得截面与另一平面的交线.若有一点在面上而不在棱上,则可通过作作辅助平面转化为棱上的点的问题;若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.6. （2023届山西大同联考一，10）如图,在四棱柱ABCDA山IGA中,46=AO=AA=I,A。_LAAhADLABy乙4向8=60。,/77分别是棱48和反?的中点，则下列说法中不正确的是AA,C,MN四点共面BBN与AB共面C.A。JL平面A88AD.Ai"_L平面ABCO答案B连接MN,因为AAICG,且A=CG,所以四边形AACC是平行四边形,所以AeAG.又MN分别是棱AB和8C的中点,所以MN/AC,所以MN4C,故A,G,MN四点共面,A正确.因为A、B、a在平面ABBMi内，而N不在该平面内，故HN与A5不共面,B错误.因为AD±AA,ADLAB,AAAB=A,所以AO_L平面ABBA,C正确.连接48,½ZAAB=60o,AB=AD=AAi=I,所以4A8A是等边三角形,所以AM-LAB.因为AO_L平面ABB1AbAlMU平面ABBA,所以AiM±ADt因为ABClAO=A,所以AIMJ_平面ABCDtD正确.故选B.7. （2022新高考/,8,5分）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36元，且3<<33,则该正四棱锥体积的取值范围是A.C.D.18,27答案C如图,S-ABCD是正四棱锥,连接AC,BD,交于点0,设正方形ABCD的边长为a,SO=h,SE是外接球的直径，由gK=36得R=3,则SE=2K=6.(6由AO2=SOOEi得='(6),又2=r+2>*2=6,.h=-Mcr=2h(6-A)='226正四棱锥的体积VqQ2九=f4一皋；VW13令Vf=0,=26.V在3,26）上单调递增,在（26,33上单调递减，而/=3时，V=N/=3百时，V=-,=26,V=-,443.该正四棱锥体积的取值范围是*,g.8. （2023届南昌零模,7）已知正方体ABCD-ABCD的棱ABfAQ,DiChClBl的中点分别为E,F,G,Ht则下列直线中与两平面ACDh8。G交线平行的一条直线是（）A.EHB.HGC.EGD.FH答案C如图,连接OG与C。交于点。,设AC,5。交于点K,连接OK,则平面ACDln平面8。G=OK又0、K分别是CD|、AC的中点，则OKAOl,因为G,E分别是OICI,46的中点,所以AD/GEi则GEOK,故选C.二、多项选择题9. （2023届辽宁六校期初，11）己知正方体ABCD-BCD的棱长为2,则（）A.直线BCl与。4所成的角为90°B.直线BCl与CA所成的角为90°C.点C到平面AfiCiDi的距离为当D.直线BCl与平面A5C。所成的角为45。答案ABD连接囱C,与BG相交于点£,因为O48C所以直线BG与BC所成的角即为直线BCx与OAl所成的角，因为四边形BBGC为正方形,则B1C±BC,故直线BG与04所成的角为90。,故A正确；因为AJ_平面BBCC,BGu平面BBlCC所以IBCit因为BiClBG,AiBiOBiC=BifA3u平面AiBiC,BcU平面ABC,所以BGJ_平面AiBiC,又ACc平面AIC所以BGjLC4,即直线BCl与CA所成的角为90°,故B正确；因为A8J_平面BBQC,SCU平面lClC,所以A8J_%C,又SiClBG,ABCBCi=B,ABU平面ABGOhBGU平面A8G。,所以BlUL平面A5G。，则CE的长为点C到平面ABCiDi的距离，由题意可得CEZl,即点C到平面ABGA的距离为,故C错误;因为CGJ平面ABCD所以NG5C为直线BG与平面ABCQ所成的角，易知NGBa45。,故D正确.故选ABD.10. （2022河北邯郸一模，10）如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为ABfAD的中点,G,"分别在8C,CO上,且BG：GC=OC=I：2,则（）A.3O平面EGHFB.H7平面ABCC.AC平面EGHFD.直线GE,HF,AC交于一点答案AD因为BG：GC=DH：H&所以GHBD.又Ei尸分别为仍力的中点,所以EF/BDi且E*BD,则EFGH,所以EiG,H,尸四点共面.易知BD平面EGHF,FH与AC为相交直线，即A正确,B,C错误.因为四边形EF"G为梯形,所以EG与切必相交,设交点为M,因为EGU平面ABC,FHc5FffiIACD,所以M是平面ABC与平面ACD的一个交点,所以M三ACt即直线GE,HF,AC交于一点，即D正确.故选AD.11.（2022重庆巴蜀中学3月适应考（八），12）如图甲,在边长为2的正方形ABCQ中，点E,产分别是A8,BC的中点,点M是Ao上靠近A的四等分点.现将2Ob分别沿A.P8平面EFMB.PDSBC.平面与平面三）E所成角的余弦值为当D.点P到平面BFDE的距离为:答案ACD如图,连接BD,交所于G,连接PGMG墨=*所以MG尸区因为PBC平面EFM,MGU平面EFM,所以P8平面EFMtA正确；因为PDLPE,PDlPF,PECPF=P,所以POJ_平面PEF,故PD与PB不垂直,B错误；易得平面EFM与平面G=J（y）2-（y）2=y,由余弦定理的推论,得COSNMG£>二当C正确;由COSNMGo=净口SinNMG0=当作MN上BD,易证MN_L平面BFDE,易知点尸到平面BFDE的距离是点M到平面七的3倍,设点P到平面8打汨的距离为did=MN=MG-SinZMGD=,D正确，故选ACD.12. （2022湖北八市联考，11）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,称作直角三棱锥.在直角三棱锥S-ABC中，侧棱SA.SB、SC两两垂直，设SA=a,SB=b,SC=G点S在底面ABe的射影为点。,三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为a、八人下列结论正确的有（）A.Q为AABC的外心B.ZMBC为锐角三角形C.若a>b>c,则a<<D.sin2+sin2?+sin2y=1答案BCD连接AD,BD,CD易证ADLBCtBDLAC,Co_LA8,故。应为AABC的垂心,故选项A不正确；由勾股定理可得,AB2=a2+b2,C2=a2+c2iBC2=b2+c1.在AABC中，由余弦定理的推论易得,/XABC的三个内角均为锐角，故选项B正确；设SD=ht易得sina=sin0=*Siny=p若a>b>cy则Sina<sinSVSin,故a<<y选项C正确；过点S作SE人BC交BC于点、E,易得SALSEi由等面积法可得SE=点可h=/得z+czva2+SE2=滔"：寰:=专+表+专,故sin2+sin2+sin2y=2(+专+?=1.故选项D正确.故选BCD.三、填空题13. (2023届重庆渝中巴蜀中学月考三，15)如图,在直四棱柱ABCD-A1BlCiDl中,底面A8C0是等腰梯形,A8