4.3.14.3.2等比数列的概念等比数列的通项公式.docx
4.1. :等比数列的概念等比数列的通项公式【考点梳理】考点一：等比数列的概念1 .定义：一般地，如果一个数列从第之项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母g表示(qRO)2 .递推公式形式的定义：念=虱WN*且>1)(或Ti=q,2n)考点二：等比中项如果在。与b中间插入一个数G,使小G,b成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项，此时，G2=ab.考点三：等比数列的通项公式若等比数列的首项为公比为G则%=S!("N).考点四：等比数列通项公式的推广和变形等比数列册的公比为q,则斯=|仁!=","T=2其中当中m=时，即化为.当中q>0且疗1时，?r为指数型函数.等比数列的应用及性质考点五：实际应用题常见的数列模型1 .储蓄的复利公式：本金为。元，每期利率为心存期为期，则本利和y=(l+r)n.2 .总产值模型：基数为M平均增长率为p,期数为，则总产值丁=N(I+p)n.考点六：等比数列的常用性质设数列小为等比数列,则：若2+/=?+(/,w,wN*),W1Jaka=aj1an.(2)若及，p,成等差数列，则丽ci,斯成等比数列.(3)在等比数列%中，连续取相邻项的和(或积)构成公比为不(或的等比数列.(4)若%是等比数列，公比为g,则数列筋(4云0),4,足都是等比数列，且公比分别是Gq2.kun)q(5)若伍,儿是项数相同的等比数列，公比分别是和4,那么0儿与翁也都是等比数列，公比分别为皿和力【题型归纳】题型一：等比数列中的基本运算1. (2023下河南许昌高二校考期中)已知数列“是等比数列，%=3,%=g,则公式q等于()A.B.-3C.3D.33【答案】D【分析】利用等比数列通项的性质计算公比.【详解】数列4是等比数列，=3,a5=f公式为,则有即1=3/,得夕二：.故选：D2. （2023下广东佛山高二校联考阶段练习）在正项等比数列为中，4+4=10，4=4,则4的公比4=（）A.2B.2C.2或TD.或李【答案】D【分析】由题意可得用%=W=16,从而可得出4=16,求得4=2,6=8或%=&4=2,进而可求解9.【详解】在正项等比数列4,中，a,as=a-=6f/%=16,又a2+6=10,解得4=2,%=8或出=8,%=2,当出=2,°6=8时，<74=4,g>0,.g=7;当,=8,6=2时，/="=<，q>0,Jq=.a222故选：D.3. （2023云南云南师大附中校考模拟预测）己知叫为递增的等比数列，且满足q=4,y+-=,则%=（）A.；B.1C.16D.32【答案】C【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得4,4,再根据等比数列的基本量求生.【详解】由题意，4+%=1%=5=16,'q+%=10,axa58联立则卜=；或卜=：4+=10%=8a52因为4是递增的数列，得4=2,生=8,设等比数列q的公比为9,则不=，=4.,.a7-a3q4=16.故选：C.题型二：等比中项的应用4. （2023下西藏日喀则高二统考期末）己知等差数列q的公差为2,前项和为S。，若%，成等比数列，则【分析】根据数列q是公差为2的等差数列，进而得到4=出-2,%=%+4,再由4，阴，4成等比数列，求得首项，然后利用等差数列的前项和公式求解.A. 16【答案】CB. 64C. 72D. 128【详解】解：数列q是公差为2的等差数列，/.al=出一2,%=4+4,电,。4成等比数列,.,W=44，即W=3-2）3+4）,解得出=4,4=2,所以#2,所以S”="4+当Dd,¾=72,故选：C.5. （2023下福建高二校联考期末）己知等比数列4满足=-4，+-+-=3,则q+%=（）2A.B.-C.D.3438【答案】A【分析】由等比中项的性质可求出/生,然后对;+；+=3化简变形可求得结果.【详解】因为等比数列“满足=g，所以q%=G=gj=;,IiioIlClCCU因为一+=3,所以一+=3=3+2=5,“1a2。3a“3a2所以乌:：=5，所以4+生=5。1。3=：，故选：A6. （2023下湖北武汉高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列,中，q=l,%=5,则的值为（）A.55B.-55C.±55D.5【答案】A【分析】根据等比中项性质进行计算即可.【详解】=；=5,得生=±6，因为、%、都为奇数项，在等比数列中应该为同号，所以用=6，故a7a3a4=G=5>5.故选：A.题型三：等比数列下标的性质及其应用7. (2023下河南信阳高二信阳高中校考阶段练习)已知数列“是等比数列，函数y=f-5+6的零点分别是。2,4。，则4=()A.2B.±yC.±J3D.y【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比中项即可求解.【详解】由题意可得/4。=6>0,。2+4。=5>0,所以故4>。，且4=y%o=，故选：D8. (2023下河南周口高二统考期中)在等比数列q中，。必=2,%=32,则4等于()A.64B.±8C.-8D.8【答案】D【分析】利用等比数列的性质即可得解.【详解】因为”是等比数列，4%=2mm,=32,所以(%)=a：回=(a4as)(a5a9)=a4a5asai,=64,<70,又由R%=2l>0,可得4%=8.故选：D.9. (2023下黑龙江鸡西高二鸡西市第四中学校考期中)等比数列七的各项均为正数，且/%+4%=18,则Iog3a1+Iog36r2+log318=()A.17B.18C.19D.20【答案】B【分析】由等比数列的运算性质结合对数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】因为等比数列“的各项均为正数，且%+4=18,由等比数列的性质可得与42+4%=2%2=18,所以，。必2=9，即Wa2%=%r12=440=9,因此,Iog54+Iog5a2+Iog3%=Iog3(«1¾%)=log3(,2)9=log399=log33,8=18.故选：B.题型四：等比数列子数列的性质10. (2023上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习)在等比数列4中，%=243,%+4+/+/=72,贝I%+%+%+"。=()3264A.B.C.32D.6433【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解即可.【详解】设等比数列q的公比为9，贝I&+%+/=q3(生+%+4+6)，2即243/=72,解得4=所以为+/+佝+4o=4?卜“+4+%+的)=(")×72=32.故选：C.11. (2022四川乐山统考一模)在等比数列q中，如果4+4=16,/+4=24,那么/+%=()A.40B.36C.54D.81【答案】C【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.243【详解】由等比数列性质知，4+%,%+4,%+&，成等比数列，其首项为16,公比为§二所以16207+08=16x()=54.故选：C.12. (2021全国高二周测)设%是等比数列，且“+2+%=l,a2+3+4=2,则4+/+/=()A.12B.2C.30D.32【答案】D【分析】利用等比数列的性质进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为q,因为4+a2+a3=,所以由弓+G+q=2=%q+a2q+%q=1=q(%+a2+a3)=2=>q=2,所以4+«7÷8=qq5+a2q5+ayq5=q'(%+2÷3)=25×1=32,故选：D题型五：等比数列与其它知识交汇问题13. （2022高二）已知等比数列«,中，公比4=2,若q%q=230,则®%）等于（）A.2,0B.220C.2,6D.2,5【答案】B【分析】由已知条件可得；=如"，再由码/o=d，侬，即可得结果.【详解】由题设，%a2q/=解。产=2味则029=4且4=2,则4=127,而四,4，%0=4°严=q2°=2”.故选：B14. （2022上贵州黔西高三校考）设等比数列“的公比为4,其前项和为S.,前项积为4,且满足条件q>l,>1，（%MOT）（%）<0,则下列选项错误的是（）A.0<q<IB.12020+1>S202iC.42o是数歹J1中的最大项D.41>1【答案】D【分析】根据题意，分析可得/>1，出<1，从而有4>1,Ovq<l,则等比数列“为正项的递减数列.再结合等比数列的性质逐一判断即可.【详解】等比数列4的公比为的若4o2Mo2>1,则（/9）（/°）=（）2（产9）>1,由q>l,可得g>0,则数列“各项均为正值，若（/20-1）（%）21-1）<0，当41时，由则%>1恒成立，显然不适合，故O<qv,且出020>1，O<a2021<1,故A正确；因为0<Cl2021<1,所以S2O20+1>2O2O+“2021=，2O2I，故B正确；根据4>4>>*>l>%。>0,可知n。20是数列中的最大项，故C正确；由等比数列的性质可得aa4tu,=%*,=.=2020a2O22=2l，0<&021<1所以GHl=64。4041="孀<，故D错误.故选：D.15. （2023上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校）已知公比为正数的等比数列凡的前项积为q,且满足0<l<l,（65o-1）（6Z49-1）<O,若对任意的wN',（T;恒成立，贝必的值为（）A.50B.49C.100D.99【答案】B【分析】由0<4<l,公比。为正数，按照9与1的大小分类讨论，先排除0<4l当4>1时，由（40-l）（/9-）<o得吗,<l<a50,从而求得7；的最小值【详解】设等比数列q的公比为"（4>O）,若0<ql,由0<q<l,贝JO<q<l恒成立，由ql,得4W49,即49<l,这与（与-）（49-）<o矛盾，所以夕>1.由4>1,又0<q<l,则>0恒成立，得,rq>4,即+>.则等比数列q为递增数列，则”50>“49,又（。50-1）（49-D<°，所以0<4<%V<¾<a4y<1<6r5<51<,则7；>n>7；>>,<<1<所以是4的最小值，即对任意的GN”,恒成立，所以2的值为49.故选：B.题型六：等比数列的证明16. （2023全国高二课堂例题）己知数列勺的首项4=3.（1）若4为等差数列，公差d=2,证明数列3%为等比
