5.2导数的运算.docx
:导数的运算【考点梳理】考点一：基本初等函数的导数公式原函数导函数x)=c(c为常数)f=Qr)=U(Q,且0)f(X)=a。J(x)=sinxf(X)=COSXJ(X)=COSXf(X)=sinXJy(X)="(a>0,且a1)f(x)=inav)=e/(4)=至J(x)=IOgHa>0,且41)txna段)=InX/(%)=5考点二：导数的运算法则已知风¥),g(%)为可导函数，且g(%)0.(D()±g)'=f(x)±婷a).(2)x)g(x)'=f()g+(.r),g,(X),特别地，或X)'=cf'(X).考点三：复合函数的导数1 .复合函数的概念一般地，对于两个函数y=y)和=g(x),如果通过中间变量，y可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数和"=g(x)的复合函数，记作y=AaCr).2 .复合函数的求导法则一般地，对于由函数和"=g(x)复合而成的函数y=(g(x),它的导数与函数)，=<)，"=g(x)的导数间的关系为y'r=F"*，即V对X的导数等于y对的导数与对X的导数的乘积.重难点规律归纳：-：求复合函数的导数的步骤二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤【题型归纳】题型一：利用导数公式求函数的导数1. (2023下甘肃天水高二天水市第一中学校)下列求导运算正确的是()B. (Y-Cosx)=2x+sinxC. (c)=(1-)D.(ln2X=-【答案】B【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】对于A中，由d=(ky=-2=-1,所以A错误；Xx对于B中，由(J-COsa)'=(Y)J(CoSX)'=2x+sinx，所以B正确;对于C中，由(XCj=e,所以C错误；对于D中，由(ln2y=0,所以D错误.故选：B.2. (2023下新疆巴音郭楞高二校考期中)下列各式中正确的是()A.(logrtx),三-B.(logx)'=-XXC. (3*)' = 3xD.(3vy=3tln3【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可.【详解】对于A、B：(logrt%y=-,故A、B错误;对于C、D：(3xy=3lln3,故C错误，D正确；故选：D3. (2023下高二课时练习)求下列函数的导数.(l)y=e0;(2)y=x2;(3)，=/；(4)y=g;(5)y=?;(6)y=(g)；(7)y=og3x,(8)y=sx.243门、X1【答案】(1)0(2)314/(4)心卜n3(7)而(8)-SinX【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.【详解】(1).y=e0=l,/=0.2(2) y0=-2x3=-.X(3) V=14/.(4) ,y=-=7,X.y=-4/=一刍.y=(9吟(7) =-l-.xln3(8) y=-sinx.题型二：导数的运算法则4. (2023下甘肃武威高二校联考期中)下列求导运算正确的是()A.(av-l)=ax(a>0,a)B.(4)=-C.(cosAy=-sinxD.(InX+3)'=1+3【答案】C【分析】根据导数的运算法则一一判定即可.【详解】S-lj=Ino",故A错误；故B错误;(cosx)=-sinx>故C正确；(InH3)'=J故D错误.故选：C.5. (2022上陕西延安高二校考期末)求下列函数的导数.f(x)=-23+4x2/(幻=XeX(3)/(x)=xsinX+cosxr+1/(刈=1X-I【答案】(l)r(x)=-6x2+8xr(H=+)e'(3),(x)=XCosx7“吁百【分析】(1)(2)(3)(4)根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【详解】(1)由/(x)=-2x3+4x2可得r(x)=-6x2+8x(2)由f(x)=xe"可得fx)=ex+xex=(x+1)a(3) 由f(x)=XSinX+COsx得/'(X)=sinx+x8sx-SinX=XCOSX(4)由 /(x)=W得小)=q x-1(X-I) (Al):6. (2023下高二课时练习)求下列函数的导函数.(1)(x) = -2+4x2(2) f(x) = -x3-X2 +ax+(3) /(x) = x+cos x,x (0,1)(4) /(x) = -X2 +3x-nx(5) y = sin %(6) y =X-I【答案】(Dr(x) = -6x2+8x(2) f,x) = xz -2x+a(3) ,(x) = -sinx+l(4) ,(x) = -2x-3 V = Cosx,2一许【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.【详解】(1) /(x) = -2÷4,所以r(x) = -6x2+8x.(2) f(x) = x3-X2 +ax+ ,所以/'(x) = x2-2x+.(3) /(x) = x+cosx,x(0,l),所以r(x) = - SinX+1, XW(0,1).(4) /(x) = -X2 +3x-nx,所以 r(x) = -2x-! + 3.(5) y = sinx,所以y' = cosx.(6)=，所以y=X-I(x + l)'(D-(X+ 1)(D'U-I)22U-D2题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用7.(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数:(l)y=(x+l),°Q)y=e3"(3)y=sin(-2x+5);(4) j=ln(3x-l);(5)y=2T三T;(6)y=tan(-x+l).【答案】(l)"=x+l,乂=IO(X+I)'(2)w=3x+l,X=3ev+,(3)m=-2x+5,y,x=-2cos(-2x+5)3(4)w=3x-l,y；=-3x-l2_2=2x7,y>-(2x-lpJ_1(6)u=-X+1,yX>-7JTv7COS"(-X+1)【分析】利用复合函数求导法则，若y=(o(),令Iy=/(),=0(力，则乂=()=求解.【详解】(1)令=x+l,因为立=乂”，所以£=(/。)'(X+1)'=109=10(%+1)9(2)令"=3x+l,因为W=乂”，=(euy(3x+iy=3ett=3e3x+,.(3)w=-2x+5,因为义=乂；，>=(sinw)(-2x+5)=-2cosw=-2cos(-2x+5).(4)令=3x-l,因为乂=)74,y,x = (Inw)/(3x-l)* =33x-l(5)令"=2x-l,因为义=乂0,(IA,2-2_2W=标(2XT)=-w3=(2x-l)3.(6)令=-x+,因为W=EU,1cos2(-x+1),8.(2023全国高二随堂练习)求下列函数的导数:(l)y=e-+2(2x+l)9. （2023下高二课时练习）求下列函数的导数:;(2) y=s(3x-1)-ln(-2x-1)；(3) y=sin2x+cos2x；<j2x1(4)y=-.X【答案】(D-e-02.(2+i)4(2元一外(2) 3sin(3x -1)-22x+l(3)2cos2x-sin2x(4)(-x + l)2x-lx2(2-1)【分析】根据导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则，即可得出答案.【详解】（1）,=(e-+2),(2x+l)5+e-N.(2x+l)'=-z.(2x+)5+5e-+2(2x+l)x2(2x-1).(2x+l)'=-e-x+2(2x+l)4(2x-9).(2)/ = -sin(3x-l)(3x-l)-2x-(-2x-l) =-3sin(3x-l)-2x+(3)(4)(l)y = (3x-2)2; (2)y = ln(6x+4); (3)y = e2x+l;(4)y = 2-l ； (5)>' = sin3x-j;y'=cos2x(2-/+2cos(cosx=2cos2x-2sinXCoSx=2cos2x-sin2x.(2x-l)X-J21(-x+1)2-I(6)y=COS2x；(7)/(X)=Sin(8)y=x-sin2xcos2x；(9)y=巾+1)【答案】(1)6(3x-2) = 18xT2(2)3x+2(3)2e-(4)72=(5)3cosf 3x- l(6)-sin2x(7)2.rcos 2x-sin22x-(2+l)ln(2x+l)(8)l-2cos4x(9)./【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案【详解】（1）y=2（3x-2）（3x-2/=6（3x-2）=18x-12;1(6)/=2cosx(cosx)=-2cosxsinx=-sin2x;(sin2x)x-(x)sin2x_2xcos2x-sin2x.5-2，Xx'(8)因为y=x-sin2xcos2x,所以y=xsin4x,所以因=1cos4x×4=l-2cos4x；,ln(2x+l)Tln(2x+l)x-ln(2x+l)y-=_Tn(2x+1)_(2%+l)_2x-(2x+l)ln(2x+l).X2X2(2x+1)x2题型四：与切线有关的综合问题(切点、某点)10 .(2022上陕西安康高二校联考期末)己知函数/(幻=Vcosx,求/U)(3)曲线y=f().处的切线方程【答案】(Iu)=Zxcosx-JsinX(2)-423(3)y=-+-【分析】(I)由导数的运算法则求解即可；(2)利用导函数计算即可；(3)由导数的几何意义得出切线方程.【详解】(1)f,(x)=(x2)cosX+X2(cosx)r=2xcosx-x2sinx（3）当Xq时，危）=0,则切点为PK,j所以切线方程是'-0=即尸一11 .（2023下河南驻马店高二统考期中）已知函数/（x）=x+求曲线y=f（x）与直线2x+y-l=0垂直的切线方程；（2）若过点A（0,-3）的直线/与曲线y="力相切，求直线/的斜率.【答案】（1）8169-3=0-3或5【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程：（2）根据切线的斜率与直线/的方程列方程组求解即可.【详解】（1）因为
