专题4.1数列的函数特征（4类必考点）（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx
专题4.1数列的函数特征【考点1：数列的周期性】1【考点2：数列的单调性】4【考点3：数列的最大(小)项】7【考点4：数列中的恒成立问题】12【考点1：数列的周期性】【知识点：数列的周期性】周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.1 .(2022黄冈质检)己知数列为J满足+2=X"ImJ("EN'),若即=L%2=(l,0),且xzl+3=%对于任意的正整数n均成立，则数列4的前2017项和S2oi7=()B. 673D. 1 345A.672C.1342解：Vx=1,jQ="(Wl,o0),/.X3=Ix2-xI=-1=1at.*.x÷X2÷X3=1÷÷(1叉Xn+3=x”对于任意的正整数均成立，数列4的周期为3,所以数列4的前2017项和S2O17=S672X3+1=672X2+1=1345.故选D.2 .(2022广东四校联考j数列满足m=2,I=T一(三N),则20i8=()B. -1A.-2C.2解：数列为满足 =2, rt+=-(N+),。2=占1 ClnIZh S=L(Ll)11C5，。4=r=2,.1-2可知此数列有周期性，周期T=3,即。+3=斯，则。2018=。672><3+2=。2=-1.故选B.3 .在数列m中，=l,一斯=Sins2，”,记工为数列”“的前项和，则S2022=()A.OB.2022C.1012D.IOil±二4厂,.«.(w+l).(w+l)解析：选C由=I及a”+1-a”=sin,将a“+i=a“+sm,所以a2=a+sn=1,03=az+sin""=。，a4=a3+sirr-=0,a5=出+sir=1,a6=a5+sin1-1,47=a6+sirr=O,a8=a7+sin"=0,，可见数列斯为周期数列，周期7=4,所以52022=505(0+。2+的+。4)+0+。2=1012.4 .数列azJ满足3+1=,。8=2,则al=.1Un解析：将/=2代入%+=Tj-,可求得G=)；再将S=J代入4+I=T，可求得。6=1；再将1an221an俏=-1代入诙+1=:；，可求得如=2;由此可以推出数列m是一个周期数列，且周期为3,所以S=1a”5. （2022陕西礼泉县第二中学高二阶段练习）数列%满足=；，¾+=1一三，Ma2023=（）ZanA.-B.-1C.2D.32【答案】A【分析】由递推公式可得数列az是T=3的周期数列，从而得解.【详解】an+1=1-且QI=1-=-1»。3=1一工=2,/QOQ2a4=1-=a5=1=-1所以数列%l是T=3的周期数列，所以。2023=«1=故选：A6. （2022吉林吉林高三阶段练习）己知数列%3满足%=2,%+=手，则数列%的前2023项的乘1an积为（）A.-6B.1C.2D.3【答案】D【分析】由题知数列&t是以%=2为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求解即可.【详解】解：因为n+=产(nN+),一r所以册+2=雪0=* 1 j+1-一, 所以即+4= -± = nWN+)'所以数列%1是以为=2为首项，周期为4的个周期数列,因为Ql=2,所以。2=_3,3=-pa4=%=2,所以为。2。3。4=1，所以,a3'a4。2021a2022'a2023=al'a2'a3=故选：D7. (2022江苏海安县实验中学高二期中)已知数列n中，1=2,Qn=I1(n2),则a2021=-【答案】T【分析】推导出数列4l为周期数列，且周期为3,利用数列的周期性可求得&021的值.【详解】由己知可得的=2,。2=1-三=3a3=1=-1>a4=1=2»»2a2«3Rn+3=1-=1=10n+=J=an,n+2an+11an+11I-嬴T故数列an为周期数列，且周期为3,所以，Q202I=a3×673+2=。2=星故答案为：8. (2020山东青岛二中高三期中)已知数列an满足的=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)则a2019+a2020=【答案】0【分析】根据题意多写出几项,发现规律,找到周期,求出七019和Q2020即可.【详解】解:由题知,Sa】=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)EIa3=1，同理可得=-1,。5=一2,。6=1,。7=1，。8=2,历数列j为以6为周期的周期数列，。2019+。2020=%+04=°故答案为：09. (2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习(理)若P(n)表示整数n的个位数字，Qn=P(M)-PQm,数列%的前几项和为Sn，则$2023=.【答案】1012【分析】根据题意可推得n为周期数列,求得其周期为10,计算出，0,求得+<+%。=5,即可求得$2023的值.【详解】由题意知P(Zl)表示正整数的个位数字，因为P(n+10)2)=P(112+20九+100),20九与100的个位数字均为0,所以P(n+10)2)=P(n2),因为P(2(n+10)=P(2n+20),20的个位数字为0,所以P(25+10)=P(2n),“n+i。=P(S+10)2)-P(2(+10)=P(n2)-P(2n)=n,即数列SJ为周期性数列，且周期为10,所以52023=。+。2+。2023=(。1+。2"1FQio)x2O2+Qi+(+的，因为5=P(I).P(2)=-1,a2=p(4)-P(4)=0,a3=(9)-P(6)=3,ci4=P(16)-P(8)=-2,a5=P(25)-P(10)=5,a6=P(36)-P(12)=4,a7=P(49)-P(14)=5,a8=P(64)-P(16)=-2,a9=P(91)-P(18)=-7,Qn)=P(100AP(20)=0,则由+&+。10=1+0+3-2+5+4+5-2-7+0=5,故S2023=5x202-1+0+3=1012,故答案为：1012.【考点2：数列的单调性】【知识点：数列的单调性】(1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号.(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性.要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去.(3)解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断.作差比较法“”+1数列。是单调递增数列；。”+1-G”V0O数列。“是单调递减数列；4“+1一即=00数列。“是常数列.作商比较法att>0时喷1>1=数列%是单调递增数列；骑Lio数列“是单调递减数列；骑1=1O数列斯是常数列,<0时畤i>lo数列%是单调递减数列；噬IVlO数列“是单调递增数列；骑i=lQ数列呢是常数列1. (2022陕西礼泉县第二中学高二阶段练习)若数列41是递增数列，则4l的通项公式可能是()A.Qn=，Ban=n28nC.an=2nD.an=(-n)n【答案】A【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.【详解】对于A,斯=-；(nN),易知j是递增数列；A正确；对于B,an=n2-8n=(n4)2-16(nN*),当ln4时，数列o7l递减，当九>4时，数列21递减，B错误；对于&an/,故数列%是递减数列，C错误；对于D,n=(-n)n,数列n是摆动数列，不具单调性，D错误.故选：A2. (2022山西忻州高三阶段练习)已知0r为递增数列，前项和配=2n+2712+九则实数；1的取值范围是()A.(,2B.(,2)C.(,4D.(,4)【答案】D【分析】由题意先算为,再利用Sn=2+2M+九求出2时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题【详解】当n=1时，1=S1=4+当n2时，an=Sn-5n.1=2n+2n2+-2n-1+2(n-I)2+=2n1+4n-2,由4l为递增数列，只需满足取。1，即84+九解得;IV4,则实数;I的取值范围是（-8,4）,故选：D.3 .已知数列小的通项公式为6），则数列痣中的最大项为（）AacIiD.125243【解析】法一(作差比较法)：,+-=(n+l),+"停)"=i(f)'，当n<2时，an+-a,l>0,即an+>an当=2时，+1an=0f即Un+1=Clnt当n>2时，an+-an<Of即an+<an.所以3<2=03,a3>a4>a5>>allf所以数列他”中的最大项为。2或。3,且6=43=2XGU故选A.法二(作商比较法)：令誓1,解得2;令誓=1,解得=2：令"i*vl,解得2.Cln又40,故。1。2=。3,。3网。54”，所以数列对中的最大项为。2或。3,且42=S=2X仔=/故选A.4 .已知数列”的通项公式为fl=2n2+加+1,若小是单调递增数列，则实数，的取值范围是（）A.（-6,+）B.（-,-6）C.（一8,-3）D.（一3,+）【解析】法一：因为斯是单调递增数列，所以对于任意的N',都有4+1>小，即2(+l)2÷(n+l)+l>2+z+1,化简得/>-4-2,所以>-4w-2对于任意的"N'都成立，因为一4一2<一6,所以。-6.故选A.1IO法二：设yO?)=22+/+i,其图象的对称轴为=一；,要使”是递增数列，则一；<一5=，即1一6.故选A.(3)x+2,x2,5.己知函数於)=j229+n(>0,且Wl),若数列斯满足(七N"),且斯是递增数.ax，x>2列，则实数的取值范围是()A.(0,1)B.3)C.(2,3)D.(1,3)3-a>0tI解析】选C因为分是递增数列，所以1,解得2<a<3,所以实数4的取值范围是(2,3).(3-)X2+2</,6.(2021广东中山纪念中学高二期中)已知数列n的通项公式以=子，
