专题1-8数列求和14类题型一网打尽（解析版）.docx
专题18数列求和14类题型数列求和常见题型梳理【题型1错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型75211与5211i下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一般并项求和）【题型11】和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=4"（其中/是等差数列，2是等比数列）类型二：£,二，L（其中凡是等差数列，2是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型1/11、11z11=（）;（2）=（n（n+k）knn-k（kn-）（kn+1）2kn-kn+类型二：无理型类型三：指数型裂项相消进阶1、裂项相加：(l)n例：()”,=7)，本类模型典型标志在通项中含有(一1)”乘以一个分式.对于=(T)"""可以裂项为“二(一1)"°”+%出=(-1)4+%+a+"(+"2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：nn+1)=+1)(+2)-(w-l)(w+1)一般式，当公差为左时：kn(kn+k)=kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子.+22(+1)-(2_1)1=11：(w+1)2wn(n+)2nUw+Tj'Fw2n'"(w+l)2n-)kn+ah+ak-h1般"突."(n")4("+l)+ban(kn-b)an(+l)+fe三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%±2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成q,=Lg皿的形式,在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和【题型1】错位相减1 .已知见=21,若数列“满足。向+%4+4也=(2-3)2e+6,求和：Tlt=aibn+地T+-+Jb2+anbl,【答案】Tn=3×2n-4n-6【详解】因为她+她+%瓦=(2n-3)2n+,+6,所以albi+a2b2+,.i-1=(2-5)211+6(«2),两式相减得anbn=(2-3)2n+,+6-(2-5)2-6(2)义岫=2满足上式，所以勺"=(2-l)2"(wN"),又二2-1,所以“=2”.则Te=m+a2bn,x+lt-1+anby=1×2m+3×211,+5×211-2+.+(211-1)×2,2Tn=×2!,+l+3x2"+52”+(2w-1)×22,两式相减得：Tn=2n+2n+1+2,÷+23-(211-1)×2=2a+l+8(：；)-(-l)×2=3×2'用-6.2 .记数列4的前项和为1,且=1,。=LG2).(1)求数列4的通项公式；12n(2)设?为整数，且对任意V,m-+-+一,求机的最小值.a%4【答案】L222.；(2)7【分析】(1)由数列可与7；的关系可得知+=2q1(2),再结合等比数列的通项可得解;12n(2)利用错位相减法求出一+,结合范围即可得解.%a4【详解】(1)因为4=1,%=&(2),所以出=q=1,当“2时，an+l=Tn=Tn+an=2anf故qf=%二""=2""("2),且q=1不满足上式，故数列勺的通项公式为=目；”；：；_12n(2)设2=+,则B=I,aa2an当2时，5=l+220+32-,+22-fl,故L+22T+32"+“2i,于是，S=*+(2"+2-2+22-")-2=3+l!二22,72l-2,整理可得S.=7-5+2)22t,所以S.<7,49又Sg=k>6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式(待定系数法)3 .已知勺=(2"-5)x2",求S”.【答案】an=(2w-5)×2n=(w+l)+×2n+,-(l+)×2n=(w+2+/>2n,an=2(+1)-9×2n+,-(2w-9)×2n,Sn=2(w+1)-9×2rt+,+14=(2?-7)×2rt+,+14.【题型2】裂项相消(常规)4 .己知q=3,证明：虫+g+.+<+1qa2an4【分析】由/=，得到-=l+!(!-|,结合裂项求和及-17+-J>o,即可得证./7+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解：由则-=与4=当T=+1an(+2)(+2)2(n+2J2 n+1 n+2= + 口4 2w+1 n+2)1ICZ31/11、3因为+>0,所以+<w+-,w+1n+2,42U+1n+2)4,na2,a3,"+l/”4.3即+1+<W+a2an4'5 .已知%=2-1,数列牝前项和Sn,记=共L,设数列也的前项和为7；,求证7；<,DQ"216【解答z,14(y“m，4yL,%=-?)14(,÷1)211155(w+2)2J*c4x4-16116 .已知正项数列凡的前项和为S,且满足*=4%+7）C111I求Z，Q）求耳W+.+及F【答案】（1）S,r=6,（2）yn+1-1【分析】（1）先令=1求出首项，再由数列的递推公式，当“2时，a”=S“-SIT代入并结合等差数列的定义和通项公式求出S1.（2）由第一问S”的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】（1）根据题意可得,r>0,当=1时，£=4=；（/+，），解得q=l,由可二色一色”2代入得S”=UsSm+f,整理后得S.+S,T=J,即S"S3=1,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S； = l + (-l)J = ，. s,=6Llll(2)由(1)“知S"=' s+S2 + S2+S3 + S3 + S4 , 1 _I + 2+2+3+3+4+," lw +w +1 = -w + l 1,2”7.已知 = 2"-l,设4 =2 + 1,求数列也的前项和S.【答案】【详解】1b.2n (2-1)(2,+,-)1 , .112 1 ÷ y/3 y/2. + 4 y/3 +.+yn + yn(2*,-1)-(2-)-2+l= >-2n+(2n-l )(2+l-l )所以S.=b+b2+对式子变形后再裂项：一般是分离常数8 .已知为=J，设C"=4"2%+,求数列匕的前项和4.21【解析】-L4+，2n+)2n+，1，、9 .已知见=2"+4,记=,数列也的前项和为7；,求乙11(111【解析】=-=32/7+384(w+1)(+2),10已知"”=舟('N)若1=(2/l)d,求数列也的前项和二,2w+l11【解析】"=F_TT=-;不,w(«+1)n(+1)( + 2) ( + 1)2 .11.已知=,证明：+÷-÷-<÷7."/2+1%an4【分析】由%=，得到%4=l+<f!一一二I结合裂项求和及v+二>0,即可得证.+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解:1 +2 n+1 n+23=n + 4 21 ÷ 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“a，/>(E4-+-1【答案】4.二；4"“十2-；3【详解】T2ll =bi +b2 + + = ( + + "+ + X (,2 +¾ + ,+ )率川+/一上 3314.已知牝=2",设2为数列q在区间(OMwCN")中的项的个数，求数列耙前100项的和.【答案】480【详解】由bm为数列/在区间(O,zm(m e N)中的项的个数，可知4=0, 4=4=1, =b5 =hb =h1 =2.当 8n15 时， = 3 ;当 16m31 时， = 4 ；当 32/W63时，1 = 5 ；当 64m4100 时， = 6./. Z>1 +b2 + + " + oo =OXI+ 1x2 + 2x4 + 3x8 + 4x16 + 5x32 + 6x37 = 480.15.已知数列七的前项和S,，且S向=30+1,4=1,数列出满足4=1,("1也=其中-=n+/7 + 2因为r÷ .w+1 n+2L+3>0,所以+.42U+1n+2a.3+-z±L<w+-【题型3】分组求和12已知若数列满足求数列间的前2”项和总、4w+,-4【答案】2n2-n+-3,4F-,O>为奇数,2一1,为奇数【详解】因为I'"为偶数，所以"W/为偶数,所以=(1+2?)+(5+24)+(4-3+2?")w(l+4n-3)2'×(l-4n),4rt+,-4-+=2n-n+21-4313.已知牝=2",设="将，数列出的前2项和为匕，求七.log2%/为奇数/7N*.求/和低的通项公式;logs%,为奇数4为偶数,求数列%的前20项和G).("+2)Z"、【答案】(1)q=3"，=11(2)70=Sx,n=,、，、cc、累乘法求得/和"的通项公式;-pw2(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得心).【详解】(1)对于S.+=3S,l+l,=1,当"=1时，ay+a2=3ai+i,a2=2al+1=3,所以为=3"T.22.j 2 1当2时，由S.+=3S"+1得SfJ=3S,+l,两式相减得a”+1=3.("2),由于a2=36，所以%是首项为1，公比为3的等比数列，对于“=1，6+1)="+-2=8,bnn,bl,bn,b,b-,nn-所以6=20.-J-.-L.h=b.b2b,b,n-n-2A也符合上式，所以勿=.(2)当，为奇数时，G=Iog3%=
