专题04幂函数、指数函数与对数函数（解析版）.docx

【解析版】专题04幕函数、指数函数与对数函数第4章幕函数、指数函数与对数函数【课本目录】4.1 塞函数：4.1.1塞函数的定义与图像；4.1.2塞函数的性质；4.2 指数函数：4.2.1指数函数的定义与图像；4.2.2指数函数的性质;4.3 对数函数：4.3.1对数函数的定义与图像；4.3.2对数函数的性质;本章内容提要n1 .辕函数N=X”的定义域由指数。的不同,辕函数的定义域是不同的.特别地，当指数。取有理数一时(n为正整数，M为整数)，基函数=/的定义域是使得根式Qr有意义的X的全体.2 .累函数y=x“有单调性：当。>0时，它在(O,+oo)上严格递增；而当<0时，它在(0,+8)上严格递减.3 .指数函数y="(。>0,tzl)的定义域是全体实数.4 .指数函数y=优(。>0,有单调性；当>l时，它在R上严格递增；而当O<<l时，它在H上严格递减.5 .对数函数y=log,x的定义域是正数全体.6 .对数函数y=log,x有单调性：当时，它在(0,+8)上严格递增；而当0<。<1时，它在(0,+8)上严格递减.题型1、对幕函数的概念的理解例1、(1)函数(4)=(-6)j+6-3是暴函数，则下列结论正确的是()A.a)>b)B.a)<f(b)C.J(a)=JbD.以上都不对【提示】理解零函数的定义；【答案】A；b3=0,=4>-【解析】:儿:)为寿函数，f.(x)=3,a-b=t批=3,心)在(0,+8)上单调递增，且心。>0,fia)>fih)l(2)已知y=(,+2zw2)x,2+2/73是塞函数，求加，的值.【解析】由题意得2- 3=0,w2+2w-2=1,1=1,或“_3所以w=-3或1,=7T2【说明】理解鬲函数的概念、判断及应用：1、判断一个函数是否为募函数的依据是该函数是否为J,二f(为常数)的形式，需满足：指数为常数，底数为自变量，母二国尸，”牛，尸片+5形式的函数都不是鬲函数；2、若一个函数为募函数，则该函数也必具有J=d(。为常数)这一形式；题型2、幕函数的图象与性质例2、(1)若点NL2)在基函数外)的图象上，点12,力在某函数g()的图象上，问当X为何值时，a)>g();/a)=©、)；)vgG);【解析】设/(x)=d,因为点(3,2)在寡函数WX)的图象上，所以将点(3,2)代入/(X)=Y中，得2=(也尸,解得=2,则/(x)=2;同理可求得g()=-2;在同一坐标系中作出函数/(X)=/和g()=-2的图象(如图所示)，观察图象可得，当x>l或X<1时，y(x)>g(x);当X=I或X=1时，x)g(x);当一10Cyl且x0时，HX)Vg(XA(2)已知慕函数j=犬(。£!)的图象过点(2,8),下列说法正确的序号是函数P=K的图象过原点；函数y=y是偶函数；函数N=乃是单调减函数；函数y=x的值域为R；【答案】？【解析】因为募函数j=的图象过点(2,8),所以2=8,解得=3,所以J=Xl函数J，=V的图象过原点，所以，的说法正确；函数)，=/是奇函数，所以，的说法错误；函数j，=V在R上递增，所以，的说法错误；函数=三值域为R,所以，的说法正确；【说明】1、鬲函数图象的画法：确定幕函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幕函数j，=d在第一象限内的图象.确定事函数在其他象限内的图象：根据幕函数的定义域及奇偶性确定幕函数/()在其他象限内的图象.2、对于黑函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域，即X=1,j，=1,J，=、所分区域.根据<0,0<<l,=l,>l确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.3、在比较幕值的大小时，必须结合事值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.4、一般幕函数的图象特征：(1)所有的幕函数在(0,+4上都有定义，并且图象都过点(1,1);(2)当QO时，幕函数的图象通过原点,并且在区间0,+与上单调递增.特别地，当时，幕函数的图象下凸；当0<«vl时，鬲函数的图象上凸；(3)当QVo时,幕函数在区间(0,+oc)上单调递减；(4)靠指数互为倒数的鬲函数在第一象限内的图象关于直线j，=X对称；(5)在第一象限，作直线x="(>l),它同各幕函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指数按从小到大的顺序排列；题型3、幕函数的性质的综合应用例3、(1)给出累函数：/(x)=x;/(x)=x2;/(x)=x3;/(x)=3;(§Mx)=-;其中满足条件/12J>空中切(R>X2>0)的函数的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】Ak+2【解析】函数/(X)=X的图象是一条直线，故当M>X2>0时，fl2J1.*X)+V2)函数/(x)=W的图象是下凸形曲线，故当为X2>0时，/yJ(v)÷y)在第一象限，函数/(X)=X3的图象是下凸形曲线，故当廿>X2>0时，/x)+V2)函数的图象是上凸形曲线,故当X>X2>O时，/2)<")；HAz在第一象限，函数/(X)=L的图象是一条下凸形曲线，故当XP>X2>0时，/X故仅有函数/(X)=满足当x.>X2>0时(2)已知幕函数歹=k9(MN)的图象关于y轴对称且在(0,+8)上单调递减,mm求满足(。+1尸<(3-2。尸的。的取值范围;【解析】因为函数在(0,+%)上单调递减，所以3I9<0,解得机1N",所以w=l,2因为函数的图象关于j，轴对称，所以3机一9为偶数，故w=l.则原不等式可化为+111<(3-2ap.1因为J，=XW在(-8,0),(0,+上均单调递减，2?所以+l>3-2<z>0或3-2<i<+l<0或a+l<0<3-2>解得:“v；或«<1;故的取值范围是*<7或;VW.【说明】本题通过黑函数的图象特征抽象出幕函数的奇偶性，根据幕函数的单调性确定参数的值,得到幕函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养；解决与幕函数有关的综合性问题的方法：首先要考虑鬲函数的概念，对于幕函数J，=Y(是常数)，由于。的取值不同，所以相应嘉函数的单调性和奇偶性也不同；同时，注意分类讨论思想的应用；用型4,对指数函数的概念的理解例4、(1)给出下列函数：y=23”;y=3""(3)y=3r;y=x3；y=(-2>；其中，指数函数的个数是()A.0B.IC.2D.4【提示】理解指数函数的定义；【答案】B；【解析】中，3'的系数是2,故不是指数函数；中，j,=3-的指数是x+1,不是自变量X,故不是指数函数；中，3'的系数是1,塞的指数是自变量X,且只有受一项，故是指数函数；中，y=V的底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数一2<0,不是指数函数；(2)若函数y=(2-l>(x是自变量)是指数函数，则”的取值范围是【答案】C",(b+00);【解析】依题意得2o-l>0,且2a11,解得且l;【说明】判断一个函数是否为指数函数的方法：1、底数的值是否符合要求；2、公前的系数是否为1；3、指数是否符合要求；届5.指数函数的图象与性Ii例5、(1)函数的图象如图所示，其中,b为常数，则下列结论正确的是()A. >l,h<0B. >l,b>0C. O<a<l,b>OD. OVa<1,b<0【答案】D；【解析圾曲线的变化趋势,可以得到函数./（八）为减函数,从而有OqVh从曲线位置看,是由函数J=G(OVaVI)的图象向左平移Lbl个单位长度得到，所以一b>0,即斥0;(2)直线y=2与函数y=Qt-l(>0,且"1)的图象有两个公共点，则。的取值范围是.【答案】(o,9【解析】J,=M1|的图象是由尸公先向下平移1个单位长度，再将X轴下方的图象沿轴翻折得到的.当“>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图；当OVoVl时，要使两个图象有两个公共点，则()V24V1,得到0VV；,如图.【说明】应用指数函数图象的4个技巧：1、画指数函数J=Ga>o,且存1)的图象，应抓住三个关键点：(1,。)，(0,1)-La2、已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足，则排除.3、对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.当底数“与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论；4、有关指数方程、不等式问题的求解，往往要作出相应的指数型函数图象，运用数形结合的思想求解；题型6、指数函数的性质的综合应用例6、(1)求：函数：HX)=2一/+2的严格单调递增、递减区间；【提示】注意：用初等函数“分解”已知函数，并结合定义验证；【解析】由已知，函数J,=2TF'的定义域是K令=-e+2,则J,=2当x(-8,1时，函数=-x2+2x严格单调递增，函数j，=2“是严格增函数，所以函数j,=2*+2在(一孙1上严格单调递增,当xl,+8)时，函数，=-e+2x严格单调递减，函数J，=2是严格增函数，所以函数j=2*+2在”，+oc)上严格单调递减；综上，函数j,=2-r+2的严格单调减区间是1,+oc),严格单调增区间是(-8,1；【说明】1、求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成二/()，U=(x),通过考察/()和奴制的单调性，利用同熠异减原则，求出J，=/(O(X)的单调性；2、关于指数型函数7二环北心0,且“l)的单调性由两点决定，一是底数心1还是OVaVl；二是HX)的单调性，它由两个函数J=，=儿1)复合而成；(2)已知优=ZS+6(>o,1),求X的取值范围；【提示】注意：结合定义分情况讨论；【解析】当OyVI时，函数X)=G3>0,41)在R上是减函数，.x2-3x+l>x+6,*x2-4x5>0,解得.v<-1或x>51所以原不等式的解集是凶x<1或x>5;当a>时，函数/(x)=0v(>0,1)在R上是增函数，,x2-3x+lr+6,.*.x2-4x5<0,解得一IVC<5,所以原不等式的解集是国一1不<5综上所述：当0<«<1时，不等式的解集是x|x<1或x>5;当>l时，不等式的解集是国一l<v<5:【说明】1、利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式；2、解不等式十')(">0,存1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即/l>"=(x)>g(x)(>l)或./(X)Vg(X)(O<a<l)；题型7.对对数函数的概念的理解例7、(1)下列函数表达式中，是对