专题二、“胡不归”模型.docx
专题二、“胡不归”模型中考真题（2019南通）如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60o,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则PB+J2PD的最小值等于DPCa/X71.jaB思路解析过点P作PE_LAD,交AD的延长线于点E,有锐角三角函数可得EP=JPD,即PB+232PD=PB+PE,则当点B,点P,点E三点共线且BE_LAD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE.考点提炼胡不归问题，在初中数学里考的不多，分值一般在3分左右，这类问题对大多数同学来说，尤其是平时复习中接触较少，没有归纳过的同学，还是有一定难度的。什么是胡不归？老师帮大家再回顾一下。从前，有一个姓胡的小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径ATB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不后？胡不归？"O这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费马尔揭开了它的面纱。“胡不归”模型如图，已知D为射线AB上一动点，ZBAC=30o,AC=23,当AD=时,AD+2CD取最小值为.解析如图所示，过点A作NBAE=30°,过点D作DG_LAERtADG,AD=2DG,AD+2CD=2DG+2CD=2(DG+CD)过点C作CH_LAE,VCD+DGCH,AD+2CD的最小值为2CH.在RtZkACH中,CH=ACsin60o=3,AH=ACcos60o=3AH在RtAAD，H中，AD,=2,cos30：.当AD=2时，AD+2CD的最小值为6.反思“胡不归”模型是形如“mAD÷n-CD”的“两定一动型”最值问题，其中A、C是定点，D是动点，m>n均为止的常数；解决的关键是“两次系数化为1"：若m、n均不为1,则提取较大系数，将其中个系数先化为1,：借助特殊角的三角函数值，构造锐角，将另个系数化为1,从而达到等线段转化的目的.最后利用“垂线段最短”即可解决问题.举一反三1、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,NABC=I50°,则PA+PB+PD的最小值为.解：如图所示，过点A作CAE=15°,过点P作PH_LAE,过点D作DGJ_AE.在菱形ABCD中，AD/7BC,ZDAB+ZABC=180o,VZABC=15O°,.,.ZDAB=30o,XVZBAC=-ZDAB=IS0,2ZCAE=ZBAC+ZCAE=30o,ZDAE=45o,1APH=-PA,2又PB=PD,PA+PB+PD=2PH+2PD=2(PH+PD)当D、P、H三点在同一直线且垂直于AE时，PA+PB+PD可取得最小值.即PA+PB+PD的最小值2PG=2ADsin45o=2×6×2如图，抛物线y=a2-2ax+c的图象经过点C(0,-2),顶点D的坐标为(1,8-)，与X轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AC,E为直线AC上一点，当AAOCsAEB时，求点E的坐标和AE.的值.AB(3)点F(0,y)是y轴上一动点，当y为何值时，乎FC+BF的值最小.并求出这个最小值.24解：(1)抛物线解析式为：y=4x24x-2;33(2)由题，ZAOC=90o,AC=5,AB=4,设宜线AC的解析式为：y=kx+b,则解得kt直线AC的解析式为：y=-2x-2;当AOCs2AEB时C16,3MEB=MABXIyEl=与，45=4,则)?=-弓E(f)由4A0CsAEB得：也=M=-ACAB5AE5I'=AB5则FG=CFSinNFCG二手CF,：CF+BF=GF+BF>BE,当折线段BFG与BE重合时，取得最小值,由（2）可知NABE=NACo.*.BE=ABcosZABE=ABcosZACO=4×马二，55y=OBtanZABE=OBtanZACO=3×=, 当y=-g时，即点F(0,-g),空CF+BF有最小值为苧.3、如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与X轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=2+bx+c经过A,C两点，与X轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标：(2)若点M为X轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.2(1)直线y=-5x+5,X=O时，y=5C(0,5)y=-5x+5=0时，解得：X=IA(1,0) 抛物线y=2+bx+c经过A,C两点 抛物线解析式为y=J6x+5当y=J6x+5=0时，解得：x=l»x2=5AB(5,0)图1图1(2)如图1,过点M作MH_Lx轴于点HVA(1,O),B(5,0),C(0,5)AB=5-1=4,OC=511 'SAbc=-ABOC=×4×5=1022Y点M为X轴下方抛物线上的点，设M(m,m2-6m+5)(1<m<5)：,MH=m2-6m+5=-m2+6m-5*Sbm=-ABMH=×4(-m2+6m-5)=-2m2+12m-10=-2(m-3)2+822 Sn边彬AMBC=SAABC+Saabm=10+-2(m-3)2+8=-2(m-3)2+18 当m=3,即M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18连接PD、CD如图2,在X轴上取点D(4,0),BD=5-4=1VAB=4,BP=2.BDBP1 =-BPAB2/ZPBD=ZABpPBDABP.PDPD_2 *APPB21APD=-AP2JPC+-PA=PC+PD2PC+PA=PC+PD=CD 最小 2当点C、P、D在同一直线上时,/CD=OC2+OO2=41,PC+!PA的最小值为E.2
