与指数函数的图像与性质相关的应用技巧（解析版）.docx

与指数函数的图像与性质相关的应用技巧作为基本初等函数之一的指数函数，这一节教材安排在这个部分，承前是函数的基本性质的综合运用，函数的图象在具体函数中的运用，启后则是对数函数的图像与性质，研究思路或学习思路是一脉相承的，就是按照函数的“概念与解析式图像性质运用”这一主线进行的，因而学习或教学过程中，要按照这一主线进行适当的阐述或提炼主要的学习方向。主要涉及到指数型函数的图像、单调性、比较大小、指数型函数的最值与不等式恒成立问题等，下面通过例题和跟踪训练、针对性训练进行讲解与练习。一、指数函数型图像及辨析【解析】由题可知，2-2NHO=X工±1，所以函数/*)的定义域为xxh±1,关于原点对称，/4又-x)=(x),所以函数/(X)为偶函数，排除A,C；又/(2)=二一2<0,排除B.故选D.2-2囚2-4(2)函数/(x)=2'+37的图象可能为()【解析】因为/(x)=2'+3-',xR,/(O)=2o+3o=2,/(l)=2+>2=(0),故排除D；又因为1zi77/(-2)=2-2+32=9+-=y,/(-l)=2-,+3=-<-=/(-2),故排除C；/R小n6+1z6+L27+2#7+亚7+匹又因为J"？地十国二.，(丁)2=丁二二<丁二4,所以卷1<2,即g)<(0),符合题意的只有A,故排除B.故选A.(3)(多选题)已知函数/U)对任意WbeR,都有f(2a)+f(2b)=2f(a+h)f(a-与，且/(1)工0,则函数f()的图像()A.经过坐标原点B.与曲线y='(>0且l)经过相同的定点C.关于原点对称D.关于歹轴对称【答案】BD【解析】对于A、B、C项：令=6=g,得2"l)=2"l)(0).因为/=0,所以"0)=1,故函数/(x)的图像不经过坐标原点，故A项错误，故函数/(%)的图像不关于原点对称，故C项错误y='(>0旦l)经过定点91),所以B项正确.对于D项：令a=；,b=_；,得/(x)+()=2(0)(x)=2),故/(-x)=(x),所以/*)是偶函数，所以函数/(x)的图像关于N轴对称，故D正确.故选BD.【规律总结】涉及到指数函数的图像相关的函数图像辨析时，需要结合指数函数的性质与图像特征，指数耗的运算进行求解，灵活运用奇偶性和单调性、过定点等图像的重要特征进行求解。【跟踪训练】1 .已知函数/(x)=T-2(>0,“Hi)恒过定点”(叽)，则函数g(x)=m+x"的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】"°=1,/(X)=优T-2恒过定点(1,T),M=1,=-1,g(x)=l+1,其图象不经过第四象限，故选D.2 .(多选题)在同一直角坐标系中，函数y=f+与丁="的图象可能是()yi0tcJ-【答案】AC【解析】当时，对应图象可能为选项A；当0<，£7<1时，对应的图象可能为选项C.故选AC.yt3.(多选题)已知>0,则函数/(尼)二相一【答案】AD【解析】由于当X=I时，f()=a-2a=-a<的图形可能为A,当=g时，/(x)=W)X-二、指数函数的单调性与应用,“、X2-Imx+m+m2,例2(1)已知函数/(x)=+ix>2A.-1,4B.2,420的图象可能是()bVOX*0,排除B,C,当=2时，/(x)=2-4,此时函数图象对应,此时函数图象对应的的图形可能为D.故选AD.Y<2，当x=2时，/(X)取得最小值，则用的取值范围为()C.D.-1,1【答案】B【解析】当x2时，/(x)=2加单调递增，则/(力>8；当x2时，/(X)=/-2三+m+开口向上,/、>/"2且对称轴为x=%又当x=2时，/(x)取得最小值/(2)=4-4加+?+病，所以4_4机+?+?*8,解得2n<4,所以”的取值范围为2,4.故选B.(2)设/(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，/(x)=er,则不等式/(x)f(2x-2)的解集为.【答案】|,2【解析】因为/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(x)(2x-2)等价于/(附2川2x-2),又x)=e'在0,y)上单调递增，所以W2x-2,即(2-2)解得:Vx2.(3)设函数/(力二"+履Tm>0且D为奇函数，且/=；.求明%的值；(2)*1,2,使得不等式/(2)+(l-mr)<0成立，求机的取值范围.【解析】(D,/(%)是R上的奇函数，./(O)=O,即1+4=0,k=-,经检验=1/(I)="-/'=,2a2-3-2=O,解得=-(舍去)，4=2.故。=2,k=-.(2)3x；,2,使得/(2/)v-(l-mx),即Q2)<(-l+wx),Q/(x)=2，q在R上单调递增，.a1,2,使得2f<T+机-即*!,2,使得m>2x+!,所以,又因2x+L2j2R=2L当且仅当X=立时取L2XkXzninXX2所以m>2j【跟踪训练】4 .已知奇函数/(x)=ae*-g在R上为增函数，则=()aeA.1B.-1C.2D.-2【答案】A【分析】/(x)=4e*-1为奇函数，M/(0)=0,解出。，验证奇偶性和单调性即可.ae【解析】因为/(力在R上为奇函数，JWf(O)=O,即",=0,解得。=1或。=-1.=1时，/(x)=et-!7,函数定义域为R,由函数y=e*和卜=-二都在R上为增函数，所以/(%)在R上ee为增函数，且/(r)=er-J7=+e'=-(x),满足函数为奇函数；。=一1时，/(X)=e'+卜”=1.故选A.5 .已知4>0,Z>>0,且2"4'=(2")则+b的最小值为.【答案】3+2222+3I2【分析】先利用指数的运算与性质得到工+上=1,再利用基本不等式力”的妙用即可得解.ba【解析】因为2J，=(2"y,所以2J22A=2"3即2"+2=2"，则+2=",所以:+冬=1,/ba又>0,b>0f所以+b=(+b)+)=3弋号3+由子=3+2/2,当且仅当晟=日，即a=y2b=2+y2+6的最小值为3+2应.6 .已知/(X)="工匚是定义在R上的奇函数.2+1(1)求实数?的值；(2)若不等式/(x-3)+(o+2)>0恒成立，求实数。的取值范围.【解析】(1)因为/(K)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=+l=0,所以加=L此时/(x)=,22+1经验证,f(-)-f(),故?=1.(2)由(1)可知/(X)=二LI一二一，任取玉</，2v+l2x+l222(2r|-2vj)则/«)-)=(1一苏不)一(1亍不)骨而生，因为芭</，则2a<2-，1)-(2)<o所以/区)</(/)，所以/CO是R上的增函数.由/Q-3)+(+2)>0恒成立，得cf>(-2)恒成立，x_3>-a-x2所以>-+3恒成立，因为一/一+3=-(+J+?',所以实数的取值范围为：(*+c0)三、利用指数函数的单调性比较指数式的大小例3(1)=0.9,1,Zj=1.109,c=1.1,1,则()A. c>b> aB. c>a>bC. a>c>bD. b> a>c【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【解析】因为LP所以c>6>.故选A(2)已知函数/(x)=3*-l,a<b<c,且S)>(c)>(6),则()A.a<0,b<01c<0B.a<0,b0,c>0C.3'a<3cD.3u+3c<2【答案】D【分析】画出/(力的图象，根据。也。以及/()j(c)j(b)的大小关系确定正确答案.【解析】令/(x)=W-Il=1，解得X=Iog32,画出/()=W-Il的图象如下图所示，由于<b<c,且/()>(c)>/伍)，由图可知：a<0,O<c<Iog32,b的值可正可负也可为Oa=-2R=O,c=g时，/(-2)=1-1=()=0,/W=3-1,满足/(。)>/(c)/伍)，3-"=32=9>3>所以C选项错误J(。)=WT=I-3。J(C)=P-Il=31,/(a)>(c),l-3fl>3t-l,所以313+3'<2,D选项正确，故选D。【跟踪训练】7,设4=05°"=0.4lC=LPs,则()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【答案】D【分析】根据指数函数、塞函数的单调性比较大小即可.【解析】因为函数y=0.5，单调递减,所以1=0.5°>0.5°>05，又察函数丁=父在(0,+e)上单调递增，所以05/>0.4"，所以b<<l,因为函数y=l.l'单调递增，所以C=I所以b<<c.故选D8.设”2%=2,c=0.53,则a,b,C的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【解析】因为7=2，在口上增函数,所以20<2"<2"，即1。<6,又3=05，在口上减函数,所以053<0.5°,即c<l,所以CVaVb.故选B.9.设4,Z>gR,4,=6-2%5=6ft-2则()A.l<a<bB.O<b<aC.b<O<aD.b<a<【答案】A【分析】由指数式的取值范围可得。>0且6>0,通过构造函数证明0>b不成立，可得到正确选项.【解析】因为4=6"一2">0，所以3">1,所以>0,5“=6'-2>0，所以3'>1,所以6>0,若a>b,则夕>4">4J设/(x)=6'-2'=2'(3*-l)在(0,+8)上单调递增，所以6"-2。>6一2，即4,>5。，不合题意.故选A.【点拨】本题关键点在于，由4=6。-2。，5a=6h-2h,构造函数/(x)=6-2)通过单调性证明若>b则存在矛盾.四、指数函数的最值与不等式恒成立问题aa2ax+2.x0例4(1)已知取值范围()A.2,3)【答案】C【分析】先根据/O)在XoW(O,+8)处取得最小值，得/(x)(x°),且=£>0,再由当工<0时/。)>£,1a>0结合/(%)=2-4得L/3,解得4l,最后结合/(-x0)<34得。<2,即可得到结果.2222【解析】由函数/(X)在XOW(O,+8)处取得最小值得/(x)(),Ma>axo=O,a>0当x<0时/(X)=券吟，又/=/6)=24，所以k网，得l.-2-T又TO)<3%所以/1S<3,即觉<30,整理得？苧-l>0,解得<2.综上，l<2.故选：C.【规律总结】求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参