专题07函数的应用（二）【解析版】.docx

专题07函数的应用(二)I-(1)定义：对于函数y=(x),我们把使用:)=0成立的实数X叫做函数y=(x)的零点.(2)几何意义：函数y=(x)的图象与X轴的交点的横坐标就是函数y=(x)的零点.(3)结论：方程(x)=0有实数根=函数)，=危)的图象与X轴有交点Q函数y=(x)有零点二、函数零点的判定定理条件结论函数y=)在，句上y=x)在(，6)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)ay(b)<0三、二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)V0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.四、判断函数y=f()是否存在零点的方法(I)方程法：判断方程yu)=0是否有实数解.(2)图象法：判断函数y=(x)的图象与X轴是否有交点.(3)定理法：利用零点的判定定理来判断.五、有关函数零点的三个结论(1)若y=(x)在闭区间口，句上的图象连续不断，且有/(VS)<0,则函数y=(x)一定有零点.(2y3V(b)<0是y=)在闭区间口，0上有零点的充分不必要条件.(3)若函数/(x)在口，句上是单调函数，且/(x)的图象连续不断，则3)3)<0=函数/(x)在区间口，力上只有一个零点.六、指数函数模型的应用f(x)=abx+c(a,b,c为常数，0,b>0,bl)七、对数函数模型的应用y(x)=mlogx+n(m,，Q为常数，mQ,>0,a)八、函数模型的应用题型Oh求函数的零点【典例1】(2023上浙江温州高一浙江省平阳中学校联考期中)若不等式0.-c>o的解集为x-3<x<2,则函数y=0+-c的零点为()A.(3,0)(-2,0)B.(-3,0)(2,0)C.2和一3D.一2和3【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解卜二I，然后根据零点的定义求解即c=-6可.【详解】因为“T_C>0的解集为x-3<x<2,所以方程加r-c=0的两根分别为-3和2,且<0,-3+2=-",解得(-3)×2=-a故函数V=加+x-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),则与X轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),所以零点为-2和3.故选：D.【典例2】(2023上吉林长春高一汽车区第三中学校考期中)已知/(x)=+m+的零点为1和3,则m+n=.【答案】-1【分析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】因为/(x)=+MX+”的零点为1和3,即x?+Mx+=0的两根为1和3,-m=1+3in=-4所以12，解得.，n=1x3=3所以，+=3-4=-1,故答案为：-1【规律方法】函数零点的求法：(1)代数法：求方程")=0的实数根.(2)几何法：与函数y=(x)的图象联系起来，图象与X釉的交点的横坐标即为函数的零点.题型02：根据函数零点求解析式中的参数【典例3】(2023下湖南株洲高一统考期中)己知函数/*)=1。8”(2%-1)-1的零点是2,则。=【答案】3【分析】由"2)=0列式求解.【详解】由题意得f(2)=log03-l=0,解得。=3,故答案为：3【典例4】(2022上广东佛山高一校联考期中)已知二次函数/(x)有两个零点-3和1,且有最小值-4.则/(x)的解析式为.【答案】/(x)=+2x-3【分析】根据待定系数法可求出结果.【详解】因为二次函数/(x)有两个零点-3和1,所以可设)=(x+3)(x-l)(“HO),又因为力有最小值-4,所以0>0,因为/(x)=2+2ar-3。，所以±"(-3")一(24)=T,4a所以=l,/(x)=+2x-3.故答案为：/(x)=x2+2x-3题型03：根据函数零点判断函数值的符号【典例5】(2021上河南濮阳高一统考期末)已知。是函数/(x)=0S-lo&x-f的零点，若0<<0,则()A./(x0)=°B/()>C./(xo)<0D./(.%)的符号不确定【答案】B【解析】根据题意判断得函数的定义域，分析函数/(x)的单调性，由函数零点的定义可得/()=0,利用单调性即可判断出g)>g).【详解】函数的定义域为(0,+8),已知函数y=0.5y=-Iog2X,y=-/在(0,+巧上是减函数，所以可判断函数/(x)=0S-1幅-在(0,+R)上是减函数，又因为。是函数/(x)=05,-1脸-的零点，即/()=0,根据单调性可得，当Oe。<。，y¼)>)=0故选:B.【典例6】(2018上北京海淀高一北京市十一学校校考期中)已知/是函数/(力=2'+'-1的一个零点,若xe(-l,与),x2(x0,+),则()A. /(x1)>0,(x2)<0B /(x1)<0,(x2)>0C. /(x1)>0,(x2)>0D- /(x1)<0,(x2)<0【答案】B【分析】由已知得出/(%)=。，分析出函数/(x)的单调性，进而可判断出/(3)、/()的符号.【详解】由于函数y=2'、y=-l在K上均为增函数，所以，函数/(x)=2'+x-l在夫上为增函数，因为玉(T,与),x2(x0,+),(x1)<(xo)=O,f(x2)>f(xo)=0.故选：B.题型04：零点存在性定理的应用【典例7】(2023上北京西城高一北师大实验中学校考期中)已知函数y=(x)图象是连续不断的，并且是R上的增函数，有如下的对应值表X1234y-0.24以下说法中错误的是()A./(0)<0B.当x>2时，/(x)>0C.函数/(4)有且仅有一个零点D.函数g(x)=(x)+x可能无零点【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A,因为函数y=(x)是R上的增函数，所以/(0)<(l)=-024<0,正确；对于B,因为函数y=(x)是RI二的增函数，所以当x>2时，/(x)>(2)=L21>0,正确；对于C,因为函数y=(x)是R上的增函数，/(l)<0M(2)>0,l!J/(1)/(2)<0,所以函数/(x)有且仅有一个在区间(1,2)的零点，正确；对于D,因为函数g()=()+连续,Ja(o)=(o)<()<o,g()=()+>o,即g(0)g<0,所以函数g(')=(x)+x在区间(0)上一定存在零点,错误,故选：D.【典例8】(2023上山东日照高一统考期中)已知函数/(x)的图象在区间1,3上连续不断，则，"+/+/(3)=0是“/(X)在1,3上存在零点的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“/+/(2)+/(3)=0和"/(x)在1,3上存在零点的互相推出关系进行判断属于何种条件.【详解】当/(x)在1,3上存在零点时，不一定能得至U/+/(2)+/(3)=0,例如/(x)=(x-2)2,此时/(x)的零点为2,但/+/(2)+(3)=2h0,所以必要性不满足；当1)+/+/(3)=0时，若/(I)J(2)J(3)三个值中存在0,则/(x)在1,3上显然存在零点,若/(I)J(2)J(3)三个值均不为0,不妨假设/(2)(3),因为/(1)+/(2)+/(3)=0,所以/(l)0,(3)0,取等号时/(1)=/(2)=/(3)=0不满足条件，所以/>0J(3)<0,则/(3)<0,根据零点的存在性定理可知/(x)在1,3匕存在零点，所以充分性满足；所以“/+/+/(3)=0是"/(x)在L3上存在零点"的充分不必要条件，故选：A.题型05：根据零点所在区间求参数【典例9】(2024上内蒙古呼和浩特高三统考开学考试)若函数=存在1个零点位于(1,2)内，则。的取值范围是()A. (0,3)【答案】AB. (-3,3)C. -3,3D. (-3,0)【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】若函数力=2*-2-4存在1个零点位于(1,2)内，2f(x)=2x-a单调递增,又因为零点存在定理，X.0<a<3.故选：A.【典例10】(2022上山东枣庄高一枣庄市第三中学校考期中)函数/a)=-(；+用在(-1/)上存在零点，则掰的取值范围是.【答案】卜»)【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数旭的取值范围.【详解】/(x)=x-(g)+加为增函数-减函数=增函数，若函数/(力在(-1,1)上存在零点，则/(T)=-l-2+m<0且/(l)=l-g+m>0,解得：<m<3.故答案为：卜【规律方法】利用零点存在性定理，结合给定区间建立不等式.题型06：根据零点个数求参数范围【典例11】(2023下江苏盐城高一江苏省响水中学校考期末)已知函数/(x)=H"-N"j°,若函数g(x)=f(x)-f(-x)有五个零点，则实数。的取值范围是.【答案】(一2,0)【分析】根据X的范围，又/(x)-f(r)=0即可将问题转化为-=x-2(x0),-=x+2,(x<)共有四个零点，结合函数的图像即可求解.详解当x0时，f(x)=xx-2,l-xO,(-x)=-ax,此时f(x)-f(-x)=0=>xx-2=-ax,则X=O或一a=x2,当x<0时，/(x)=QxJU>0J()=r-2=-xx+2,此时/(x)-'(r)=Onrk+2=QX,则一=x+2,故问题转为F=IX-2(x0),-0=k+2,(x<0)共有四个零点，画出函数图像如下可知：则0<-<2=>-2<<0,故答案为：(-2,0)【典例12】(2022上浙江台州高一台州一中校考开学考试)已知点48的坐标分别为(1,0),(2,0),若二次函数歹=/+(。-3)x+3的图像与线段48有且只有一个公共点，则实数。的取值范围是.【答案】-1。<-g或=3-26【分析】结合零点存在定理以及判别式，分成两种情况进行讨论：当二次函数与X轴有两个交点时；当二次函数与X轴仅有一个交点时.【详解】当二次函数与X轴有两个交点时，如图1,因为：次函数y=(x)=2+(-3)x+3的图像与线段”有且只有一个公共点，43的坐标分别为(1,0),(2,0)，W(l)(2)=l2+(a-3)+3×22+(a-3)×2+3jl<0,解得-IVa<由/=r+(a-3)+3=0,得=T,此时项=1,/=3,符合题意.由/=22+("3)x2+3=0,得=-g,此时=2,W=|，不符合题意.所以T<M当二次函数与X轴仅有一个交点时，如图2,令1+(-3)x+3=0,由A=(-3)-12=0得=3±2J，当=3+25