专题11直线与圆锥曲线的位置关系（重难点突破）解析版.docx
专题11直线与圆锥曲线的位置关系【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板工y=kx+m第一步：代入消元，联立2v2化简：(从+。2左2)2+2ZWa2彳+。2./一=0÷2-=a2b2第二步：计算判别式可直接利用结论：A>0n用+培/一>2>0（范围最值问题）第三步：根与系数关系表达式-Ikma2a2m2-a2b2，修”小如e,>-jllr11-2kma第四步：利用x1+x2=7+22第五步:利中-Ikma利用 X1+x2 =-jrrb +aka2m2-a2b2=B密一计算必”第六步:-llm2kma”利用=西前,Zmb2 %+%二再前，计算弦中点（五土”.江5）第七步:利用A=%ZzA/+/左2一加2）计算弦长IABl和ACMB的面积进而计算原点（0,0）到直线y=kx+b的距离d=-J=Jl+公第八步:利用XlX2=a2m2-a2b2-k2a2b2+m2b2b2+a2k2=b2+a2k2计算石工2+必必第九步：利用中2=22212Crm-方h2+a2k2必必-k2a2b2+n2b2计算(石-4)(%2-)+M%【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】:y=kx+m第一步：代入消元，联立/y2化简：(h2-a2k2)X2-2kma2x-a2m2-a2h2=0a2b2第二步：计算判别式可直接利用结论：a>On一+加20qoLB回趣2第三步：根与系数关系表达式2kma1-a2m2-a2b2计算乂+%a.t,.EIkma2第四步：利用xl+X2=71TTb-ak生十#-r,mIkma2-a2m2-a2b2、3第五步：利用芭+/=2_.2,2孙G=下金密计算乂.为、d-E-Ikma1Imh1/x+Lyl+¼x第六步：利用的+/=/+/.2必+%=PT而计算随点（一Ly2，二）第七步：利用计算弦长IABl和Aeu纥的面枳/进而计算原点（0,0）到直线y = Ax + 6的距离d =SMLfABd【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板工过焦点的直线与抛物线相交第一步：代入消元，联立y = k X-P_2y)化简:y2 =Ipxk1x1 -伍 2p + 2p)x +与-=0第二步：根与系数关系表达式X1 + X2 =Hp + 2p，¾=y第三步：一些小结论点C（Xo,必）在抛物线V =2px （p>0）的准线上，过点AZ（%,M）作抛物线的两条切线，切点分别为44结论1： 48的斜率为左二口一结论2：若48的中点为。，则C。 X轴必+为结论3： CFLAB 结论4： 48过焦点/结论5： CAlCB重难点题型突破1直线与椭圆方程例1.（2023江西九江统考一模）己知椭圆uW + * = l（>6>0）的左右焦点分别为耳工，过户,的直线交ai b2C于RQ两点，直线耳。交V轴于点M,若尸WLE0P娟=P0=2,则椭圆C的焦距为（）A.3B.6C.D.立22【答案】A【分析】由尸河，耳。口.W=P0=2,得到"为HQ的中点，得出尸。，工轴，进而得到AWQ为等边三角形，求得C=也，即可求解.2【详解】如图所示，因为上河，£。川尸耳I=IPQI=2,所以“为片。的中点，又因为。为耳鸟的中点，OA/_Lx轴，所以P。LY轴，所以APEQ为等边三角形，所以NP尸仔=3伊，可得Iml=2,解得c=3,32所以椭圆。的焦距为2c=G故选：A.1.（2023四川达州统考二模）尸（2,0）是离心率为竺的椭圆Cm+4=ig>b>0）的一个焦点，直线5ahy二百X交C于点、A,B,则4/18尸内切圆面积为.【答案】y【分析】由已知可得椭圆方程为：+/=1,联立宜线方程求48坐标，由S“8C=JoFI-谒=（47+忸日+48）,列方程求半径，进而求圆的面积.【详解】由题设，c=2且£=马叵，则。=石，故b=J?=7=1，a5所以椭圆方程为+=,联立”后,可得16d=5,则户士手，不妨令A吟,呼），8（-4,一弓0，所以S“8c=J。尸I,回一词=若内切圆半径为，则;“以可+忸可+48）=半，由椭圆对称性及其定义知：pF+5F=2=25,JB=>,所以地=巫，则=正，故内切圆面积为r2=g2233故答案为：y例2（2023,全国模拟预测）已知椭圆的离心率为暗，且过点（-如,-1"）.求椭圆C的标准方程.已知过右焦点尸的宜线/与C交于48两点，在X轴上是否存在一个定点P,使NOPA=NoPB?若存在,求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】+广=1123（2）存在,尸（4,0）【分析】（1）山离心率*与定点一目代入椭圆方程，建立方程组待定系数即可；（2）由NOZm=NOPH条件转化为L+%=。，设直线/的方程为X=叩+3,力（4乂）,8伍,以），将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到f，加的等式，不论加如何变化，等式恒成立求，值即可.【详解】（1）因为e=£-AX=且，所以"2人aa2所以椭圆C的方程为+g=l.4bb2因为点（-6,-0）在椭圆C上，所以3I解得/=3,12）寿+京=1所以=12所以椭圆C的标准方程为+亡=1.123（2）存在定点尸（4,0）,使NoP/=NOPB.理由如下：由（1）知，d=2-3=9,则点尸（3,0）.设在X轴上存在定点PaO）,使ZOPA=ZOPB成立.当直线/斜率为。时，直线右焦点尸的直线/即X轴与C交于长轴两端点，若NoPA=NOPB,则z>2i,或E<2J当直线/斜率不为。时，设直线/的方程为=，町，+3,力«,必）,8（,必），Xd由12 3消去X并整理,X = my + 3得（4 + m2y2 + 6my-3 = 0,l6m3贝以十%=一=/.因为NOP4=NOPB,所以+A%=。，所以Jl;+产7=°，即乂伍一升以外-，)=。.所以凹(叩2+3-£)+外(叩1+3-，)=。，即2岬%+3(M+必)-f(M+%)=O，6m18w6mt6m(t-4)Cl=石hG+E=Tk0恒成立'即对VzwgR,幽二2=0恒成立，则，=4,即尸(4,0).4+"乂点P(4,0)满足条件z>2J综上所述，故存在定点尸(4,0),使NoPA=NoPB.1.(2023全国模拟预测)已知椭圆UW+W=l(>6>0),其离心率为立，直线)，二!被椭圆截得的弦crb22长为2L求椭圆C的标准方程.(2)圆K?+/='的切线交椭圆。于a,B两点,切点为N,求证：丽.福是定值.【答案】工+/=14(2)证明见解析【分析】(1)由离心率为立可以先得到=2b,然后结合其余已知条件即可得解.2(2)分直线48的斜率是否存在进行讨论，当直线/8斜率不存在时，算出京丽=,当直线忿斜率存住时，设直线48的方程为y=H+m,将其与椭圆方程联立，由韦达定理结合直线/8与圆/+/=相切于点N,从而即可得解.【详解】(1)如图所示：因为椭圆的离心率为当，所以q*丝£Hgj,所以=26,则椭圆C的方程为£+=1.4Zrb1 丫21将y=:代入椭圆方程，得。+二=1,2 4b-Abz贝Ij/=劭21=(述,所以b=1.所以椭圆C的标准方程为工+V=1.4（2）当直线48的斜率不存在时，百线48的方程为=±名叵.5将工=±冬叵代入椭圆C的方程E+y=,得±冬£,54z5所以I而I=I丽I=半，则福丽如图所示：当直线48的斜率存在时，设直线/8的方程为=H+.将y=H+,与?+/=联立，消去J并整理，（42+1）x2+Umx+4/n2-4=0.由A=（弘利）2-4（4/+1）（4/一4）>0,得/<4/+.设彳（王，凹），8（,以），N（XO,汽），8km再+工2=2则痴24丁，闲=加研芭70,V5=iTFx2-x0,C新T则丽.丽=（+）（XLXO）IoX2）=（1+炉）。工：一77.由直线V=履+机与圆，+y2=,相切，可得jgj=云,即/=g（*2+1）.由GON（8=-1，得0=-“NO结合*+"=%得X；=温T）又为二ho+m,两边平方并整理,得-2kmxii = k2x1 + W2 - ,y = (2 + l)x + w24f24公4/,248,232,S=(K+)'71f*+1)一厂广，所以画，=一行自_4综上，AN-NB=-1即/NW5是定值.重难点题型突破2直线与双曲线方程22例3.（2023甘肃陇南统考一模）已知双曲线C:=-4=l（>0,b>0）的左顶点为A,右焦点为产，焦ab距为6,点M在双曲线C上，且3_Lj厂，MF=2AFi则双曲线C的实轴长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把X=C代入十5=1中，得尸±，即|阿=§，因为4E=+c,MF=2AF,所以一=2（+e）=c2-a2=2ac+2a2>a又c=3,所以/+24-3=0，解得=l,。=一3舍去，则24=2.故选：A1. （2023重庆万州统考模拟预测）已知双曲线C：-i'”一/ b2l(4>O,b>O)的左、右焦点分别为£, P是。在第一象限上的一点，且直线尸入的斜率为J,的平分线交X轴于点力，点B满足丽=2荏，FrB-FF南二冲广，则双曲线。的渐近线方程为.3【答案】=4FBFPFBFF【分析】由点3满足1I-I1=I扇广,则而在甲方向上的投影与丽在丽方向上的投影长度相等,可得8为APZE的内心,然后结合双曲线的定义及余弦定理求解即可.【详解】过8作OIKF2,由点8满足FxBFxP FBFRw=w则FB在用方向上的投影与FB在FF2方向上的投影长度相等,即Irq=IK必,则电“AEZ）即NAFlB=NPKB,即£8为NPg的平分线,则8为鸟的内心，连接5乙，又点8满足而=2万，.|P用_PFlI尸BI=:,Mab,.aj+P玛=2MNl+%4)=4c,又归耳IT尸耳1=2%则归用=2c+,IPgI=2c-,又直线尸鸟的斜率为6，.NPEg=会，在尸耳苞中结合余弦定理附=IE+P用2-2忸局I尸用CoSNPKE,可得(2c+)2=(2靖+(2c-)2-2(2c)x(2c-)x化简得C=则b=E7=%即TT即双曲线C的渐近线方程为八±%3故答案为:,=±-.例4.（2023云南大理统考一模）已知双曲线：l(a> 0,b> 0)>其
