四年级奥数——平均数问题（剖析版）.docx

第15讲平均数问题教学目标N也进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系立进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用题知识梳理脑一、基本公式平均数X总份数=总数量总数量÷总份数=平均数总数量÷平均数=总份数二、平均数问题日常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数二平均数。解答平均数问题的关键是要求出总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一个基数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数公式求平均数。典例分析九考点一：用基本关系式求平均数例1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。根据已知条件，求出4个杯子里水的总高度，然后除以杯子的个数，即可求出平均数。（8+5+4+3）÷4=5（厘米）答：这4个杯子里水面的平均高度是5厘米。解：（800+150）÷19=50（秒）答：全车通过长800米的大桥，需要50秒。例2、数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。总数量=98+86+92x5=644（分），总份数=1+5+1=7（人），平均数=644÷7=92（分），故这一组学生的平均分是92分。例3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。明明英语考了多少分？【解析】利用基本式：三门课总分数=91x3=273,四门课总分数=（91+2）×4=372o英语分数=372-273=99（分）。另一种思维方式：平均分提高了2分，也就是说，英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了4个2分,即2x4=8分,那么英语成绩=91+8=99（分）考点二：利用基数法求平均数例1、求下列20个数的平均数：401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399,396,398,398,405,401,400,402,403,400o【解析】解法一：先求出这20个数的和，即总数量，再用20个数的和除以总份数20,求出平均数。因为这20个数据比较大，这种解法计算量很大，容易出错。解法二：仔细观察这20个数据都接近400,有的比400大，有的比400小，我们可以借鉴移多补少的思想，以400作为基准，把这20个数都看作400,求出它们比400多出或不足的部分，多出1记作“+1”，不足2记作“-2”，计算时多出和不足的部分让它们互相抵消，可得这20个数据共多出：+1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1-4-2-2+5+1+0+2+3+0=10,再把多出10平均分给这20个数据，所以这20个数的平均数是：400+l（H20=400.5。对于求多个比较接近的大数的平均数，直接计算很麻烦，我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数，运用上面的方法解答，计算就简单多了。例2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。【解析】这道题可以按照一般思路解，即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方法，容易发现身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当做基数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”公式求解。即有150+（3×2+2-1×2-3×2）÷（2+1+2+2）=150（厘米）考点二：航行中的平均数问题例1、两地相距360千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？【解析】航行中的速度关系：顺水速度=船的静水速度+水流速度逆水速度二船的静水速度-水流速度，速度二路程÷时间用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度=360÷10=36千米/小时，船的静水速度=36-6=30千米/小时。所以船的逆水速度=30-6=24千米/小时。逆水行全程时所用的时间二360:24=15（小时）解:逆水速度360÷1066=24（千米/小时）逆水走完全程的时间360÷24=15（小时）平均速度二总路程÷总时间=（360+360）÷（10+15）=28.8千米/小时答：往返两地的平均速度是每小时28.8千米。例2、张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米/时Z从B到C为上山路，车速是28千米/时；从C到D为下山路，车速是42千米/时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？【解析】本题给出BC段与CD段的路程关系，因此可以先求出BD段的平均速度，设BC段的路程为84份，CD段则为168份，则BD段的平均速度=（84+168）÷（÷-）=36（千2842米/时），与平路的平均速度恰好相同，所以共需时间72÷36=2（小时）考点四：改动中的平均数例1、有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1,那么这五个数的平均数为8,这个改动的数原来是多少？【解析】改动前五个数的和为：9×5=45;改动后五个数的和为：8x5=40；改动后总和比改动前减少了：45-40=5；所以被改动的数减少了5,这个数原来是：1+5=（例2、五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有45个0.2、五一班就有45名同学。例3、有4个数，这4个数的平均数是21,其中前2个数的平均数是15,后3个数的平均数是26.那么第二个数是多少？【解析】根据“4个数的平均数是21”，可以得出4个数的总和就是21x4=84,又根据“前2个数的平均数是15,后3个数的平均数是26”，可以得出他们的总和为15x2+26x3=108,其中第二个数被重复算了一次，所以总和多出来的了108-84=24,就是第二个数。实战演练课堂狙击1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？【解析】（1）1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42x3=126（个）；（2） 1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36x3=108（个）（3） 1箱苹果+1箱桃=37x2=72（个）由（1）（2）两个等式可知：1箱苹果比1箱桃多126108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（7418）÷2=28（个），1箱苹果有28+18=46（个）。解：1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3-36=18（个）1箱苹果有多少个：28+18=46（个）2、小英4次数学测验的平均成绩是92分，5次数学测验的平均成绩比4次数学测验的平均成绩提高了1分。小英第5次数学测验得了多少分？【解析】5次比4次测验的平均分提高了1,那么第五次测验的成绩比4次测验的平均数多出了5个1分，所以第五次测验的成绩=92+1x5=97（分）3、一辆小轿车，装有4个轮胎，还有2只备用轮胎，司机适当地轮换这6只轮胎，使每只轮胎行程相同。小车共行驶了360千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？【解析】小轿车在任何时候都是4个轮胎同时行驶，小车行驶360千米，即所有6只轮胎共行驶4个360千米：360x4=1440（千米）。平均每只轮胎的行驶路程为：1440:6=240（千米）。4、A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数23,26,30,33oA、B、C、D4个数的平均数是多少？【解析】A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3×（23+26+30+33）3（A+B+C+D）=3（23+26+30+33）A+B+C+D=112A、B、C、D4个数的平均数是285、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是10,那么第一个数和第五个数的平均数是多少？【解析】前四个数平均数是7,前四个数的和是7x4=28,第五个数是45-28=17；后四个数平均数是10,后四个数的和是10x4=40,第一个数是45-40=5；第一个数和第五个数的平均数是（17+5）÷2=116、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出科目港文数学外语自然音乐体育平均分数BhU8590758083【解析】根据六门成绩的平均成绩为83分，则能求出总成绩为83x6=498分，减去另外四门的成绩就是数学语文的总成绩，然后根据数学成绩的个位数字，推出语文成绩，即可得出结论。解：语文与数学成绩之和83x6-(80+75+90+85)=168(分)因为数学成绩的个位数为5,则语文成绩的个位数一定是8-5=3,故语文成绩是83,数学成绩是85分答：王华的语文数学成绩分别是83分，85分。课堂反击1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考到100分，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？【解析】100分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86-84=2(分)，14分里面有7个2,所以前而已经测验了7次，这是第8次测验。2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为75千米，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行20千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？【解析】求总时间，然后求出平均速度解：逆水走完全程的时间75÷20=3.75小时顺水走完全程的时间=75:25=3小时平均速度=总路程÷总时间=(75+75)÷(3.75+3)22.22千米/小时答：往返两地的平均速度是每小时22.22千米。3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？【解析】算错平均分为88分，比90分少2分，故甲的分数算少了4个2分，所以甲的分数=87+4x2=95(分)4、第三小队11位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89,求每个人平均每分钟跳绳多少个?【解析】可以采用假设平均数的方法,容易发现个数都在90左右，可以假设平均个数为90个，把它当做基数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”公式求解。即有90+（2-4+2-3+4+1-2-1+2-1）÷（2+1+2+2）=90（个）直击赛场1、（2007年4月“希望杯"四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回.假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千