刘蒋巍：以“双曲函数、反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题命题研究.docx

以“双曲函数、反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题命题研究文/刘蒋巍【什么是“双曲函数”？1双曲函数是一种非初等函数，它可以用一些基本的数学函数来表示，如：利用指数函数的组合。一种常见的双曲函数是双曲正弦函数，记作Sinh(X),定义为：UZ、eXSinh(X)=-另一种常见的双曲函数是双曲余弦函数，记作CoSh(X),定义为：COSha)=亡F双曲正切函数tanh(x)定义为：一、Sinh(X)ex-extanh(x)=-=-cosh(x)ex+ex双曲函数的导数公式与三角函数的导数公式类似，例如：cosh(v)z=Sinh(X)lsinh(x)z=COShQ)可以验证，上述公式与使用导数定义计算的结果是一致的。【“双曲函数”的图像特征】双曲函数的图像特征如下：1 .对称性：双曲正弦函数、双曲正切函数均是以原点为中心的对称曲线。双曲余弦函数是关于y轴对称的对称曲线。2 .双曲正切函数的渐近线：双曲正切函数有两条渐近线，分别为y=l和=-1。3 .单调性：双曲正弦函数、双曲正切函数均是严格单调递增曲线；其中，双曲正切函数的图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。以“双曲函数”为背景的函数综合题】【案例1】教育部在2022年全国2卷第22题中，命制了以双曲函数为背景的试题：已知函数/3=VY(2)当x>0时，/(x)<-l,求。的取值范围。答案：(-,-1 【命制思路简析】引理：当x>0时，sinh(x)=->x2证明方法1：构造函数"(X)=CF-1，求导并研究单调性，即可完成证明。证明方法2：sinh(x)f=F匕=cosh(x)>0,故Sinh(X)单调递增2K_TV-_一)当冗>O时，sinh(x)ff=-=>0>故Sinh(X)在(O,+oo)下凸。22函数Sinh(X)在X=()处的切线方程为：y=x对于“引理”中的不等式一“当x>0时，sinh(x)='“e,2ZI令2x=(r>0),则/一5>r(/>0)(*)££对(*)式两边，同时乘以后，得：e,->tei(r>0)£BP：te2-e,<-(r>0)引入参数。，将L替换成。，可得：2=g是使得/(x)=xettx-ex<-恒成立的一个取值。据此命制第(2)问，让考生探究“当工>0时，/(x)<-l,。的取值范围，【案例2】(常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题)设函数/(x)=e'-e-2sim:,则关于，的不等式/(，)+/(2r+l)0的解集为()A.(-oo,-lB.I->-C.-l,+)D.-,+<»【与“双曲函数”的关联】MX)=，-1=2sinh(x)，在R上单调递增且为奇函数。【答案】D【分析】先判断出了(力利用奇偶性，再利用导数求得了(X)的单调性，从而利用奇偶性、单调性解不等式即可得解.【详解】因为/G)=e'-e-x-2SilU其定义域为R,所以/(T)=ex-er-2sin(-x)=-(er-e4r-2sinx)=-/(x),故/(x)为奇函数，又,()=ex+et-2cosx2>qx×ev-2cosx0，当且仅当e*=e,COSX=1,即X=O时等号成立，所以/(乃在R上单调递增，故由Q)+(2f+l)0得/()-(2f+l),即/()f(T-2r),所以，T-2f,解得f-L3故选：D.【案例3】(江苏省连云港市2023-2024学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题)已知函数)(x)=e''+cosx,若对任意xl,2,/(x2)>(l-znr),则实数m的取值范围是()A. 2,-Hx>)B.(-,0C.0,2D.(-,2【答窠】C【与“双曲函数”的关联】、er+evex÷exCOSXF(X)=U+cosx由双曲余弦函数COSh(X)=J!/一与余弦函数组合而成。【案例4】(广东省深圳外国语学校2024届高三上学期第一次月考(入学考试)数学试题)(多选题)已知函数/(X)和g(x)分别为奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=2",则()A.f(x)-g(x)=2-B. 0)在定义域(-8,+8)上单调递增c./(“)的导函数r0)D.g(x)l【与“双曲函虹的关联】力二三二送(力二图像，分别与双曲正弦、双曲余弦函数图像类似。【答案】BDov_OxIOx【分析】根据函数的奇偶性可得力二二了一,g(x)=',结合选项即可逐一求解，【详解】由f(x)+g(x)=2'得f(-)+g(-)=2-x,由于函数/(力和g(x)分别为奇函数和偶函数，所以-f(x)+g(x)=2L因此“力二三二送(力二二I。，对于A,7*)-g(x)=-2,故A错误，对于B,由于函数y=2'在(-8,+oo)单调递增，=2-*在(-8,+0。)单调递减，所以“X)二土子一在(-8,+)单调递增，故B正确，对于C,r(x)，ln2;2"n2=(2、+；)ln2N22'j1n2=仙二当且仅当X=。时取等号，而ln2vl,所以C错误，对于D,p(x=2x+2V2V2vx2'=1,当且仅当X=O时取等号，所以D正确，v,22故选：BD【案例5】(靖江中学、华罗庚中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题)若函数“X)在其定义域内存在实数X湎足/(T)=一/(力，则称函数/(X)为“局部奇函数”.知函数力=9'一7-3'-3是定义在/?上的“局部奇函数”，则实数用的取值范围是A.-2>,6B.->J,3C.,22JD.2,+)【与“双曲函数”的关联】题目中蕴含的t(x)=3'+3。图像，与双曲余弦函数图像类似。【答案】D【分析】根据题意得/(r)=-(x)有解，即9一“一力3一'一3二-(9*一力3'-3)有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可.【详解】根据“局部奇函数”定义知：/(T)=一/(力有解，即方程9'-m3-x-3=-(9-w3a-3)有解，则9a+9-m(3x+3T)-6=0即(3v+3a)2-11(3'+3-、)-8=0有解；设，=3*+3-3则f2(当且仅当X=O时取等号)，方程等价于一,献一8=0在f2时有解，8:.m=t一一在f2时有解；tQ>=，-7在2,+8)上单调递增，/.t2,.m2，t即实数机的取值范围为故选D.【什么是"反双曲函数”？1反双曲函数是双曲函数的反函数，记为(arsinh、arcosh.artanh等等)。例如，反双曲正弦函数记作y=arsinhx,定义为y=0rsinhx=ln(x+G11)；反双曲余弦函数记作y=arcoshx,定义为y=ucoshx=函(x+Jx：1)；1 1-i.反双曲正切函数记作y=artanhx,定义为y=rtanhx=-ln()。2 1-与反三角函数不同之处是它的前缀是ar,意即area(面积)，而不是arc(弧)。【“反双曲函数”的图像特征】反双曲函数的图像特征如下：1.反双曲正弦的图像关于原点对称，且在原点处切线的斜率为I02 .反双曲余弦的图像，有顶点，且在该点处切线为x=l。3 .反双曲正切和反双曲余切的图像关于原点对称，有渐近线。【“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数】下面展示“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数：上图为/(x)=IogJ-)(a>D>g(x)=(>1)图像，它们关于y=X1-xa+1对称。上图为/(x)=k>g,(三)(O<<l)、g*)=<(0<<l)图像，它1-xa+1们关于y=x对称。上图为f(%)=iog(一)(>i)>g()=(。>1)图像，它们关于y="x-la-1对称。上图为f(x)=log"(山)(0<“<l)、g(x)=4B(0<«<1)图像，它x-1a-1们关于y=x对称。【以“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题】【案例6】(常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题)已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4,定义域为R的函数/(x)=2且jJ+.是奇函数.(1)求加，n的值；(2)若对任意的实数3不等式/(/-2。+/(2产-&)。恒成立，求实数上的取值范围.【与“双曲函数”的关联】由于不_1在R上单调递增且为奇函数，2t+l所以-2+112x-l*在R上单调递减且为奇函数。=2a+,+2=一5-+1【答案】(1)W=2,=1；【分析】(I)根据指数函数的概念及奇偶性的定义计算即可；(2)由(1)求得函数解析式，判定其单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可设y = g(r) = (>M=l),由 g=4n=4,解得。=2,所以 g(x) = 2",贝 V(X) =-2x + n2"+m又因为/(x)在R上是奇函数,所以F(O) =M-I"°' /(1)÷(-1) =1C n 三 十 二=0'w + 4 tn + 一2"÷1所以=1,机=2,即/()=2二;-2-t+12x-1验证/M=寸成立，综上所述：m=2yn=i【小问2详解】由(1)知/()=-2+1=H5,J2x+,+222r+l易知/(x)在R上为减函数，又力是奇函数，从而不等式f(*-2r)+(2产一女)<0等价于f(r-2t)<-f(2r-k)=f(k-2r),t2-2t>k-2t2=>3t2-2t>k对任意的fwR恒成立，由二次函数的性质可知y=3产一2f=3，一-fI3J33【案例7】(扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题)己知函数/(力二幺三为奇函数.(1)求。的值；(2)若存在实数，使得了(产-2)+(22-2)>o成立，求女的取值范围.【与“双曲函数”的关联】在R上单调递减且为奇函数。【答案】1(2)f-,+ocj【分析】(1)根据奇函数的性质/(O)=O求解即可.首先利用根据题意得到/(r-2r)>(-2r2+4)，利用单调性定义得到/(x)是R上的减函数，再利用单调性求解即可.【小问1详解】因一(X)定义域为R,又因为f(x)为奇函数，所以F(O)=0,即=0,得。=1当。=1时，/(力=黑，所以/(1)=.=芸=-江所以=1【小问2详解】/(产一2，)+/(2?_女)>0可化为尸一2，)>一/(2?一4因为/(x)是奇函数，所以/(产一又由(1)知/(X)=222(e*-e*)设N,/'-且斗气，则)r(z)=17F-*=0+叼(l+e因为<x2,所以2一9>0，l+e>O,l+e*>O,所以/(%)(¾)>0,即“王)>/(工2)故/U)是R上的减函数，所以(*)可化为产-2/V-2/+%