刘蒋巍：幂、指、对数的大小比较的3种方法.docx

塞、指、对数的大小比较的3种方法文/刘蒋巍一.比较大小的3种方法1 .求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，那么可通过幕（或真数）的大小与指数（或对数）函数的单调性，判断出指数（或对数）的大小关系.要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.2 .利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“一1,0,对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破'也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23,可知I=IOg22<k>g23<log24=2,进而可估计log23是一个1点几的数，从而便于比较.3 .利用函数单调性比较大小.二.案例讲解方法1：求同存异（化为同底或同指数）例1(1)(2022怀化一模)已知b=(j)C=In3,则仇C的大小关系为(D)A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【解析】由指数函数的性质可知，=GF（O,l）,8=gy（0,l）,c=ln3>l,且4=3'=、/!，所以比”故(2)(2022唐山期末)设。=1(23,=log34,c=log48,则(A)A.h<c<aB.c<h<aC.a<c<bD.a<b<c【解析】log34=Iog2764=1oo427»log48=logi664=jj,函数y=k>g6M在(0,+8)上单调递增，所以log6427>log6416>0,所以总行即Iog34<log48,即b<c.因为函数y=log4X在（0,+8）上单调递增og23=log49>log48,所以cVz.综上，a>c>b.变式（2022湛江二模）若=lg0.2,Z?=log32,c=log64,则（A）A.c>h>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c2【解析】因为«=lg0.2=lgy=lg2-KO,c=log4=Iog62>log32=b>0,所以c>b>a.方法2：利用特殊值作“中间量”例2（1）（2022莆田三模）已知。=2°，ib=log43,c=log52,贝J（C）A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.b>a>c111【解析】a=201>20=l,因为4>3>2=4所以I>8=k）g43>log442=5.因为1112<51,所以C=IOg52<log552=,所以a>b>c.5Jr（2）（2022岳阳三模）已知=3°s,Z?=logs2,c=tan-,贝J（A）A.a>h>cB.h>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】因为305>3°=1=log33>log32>log3l=0>=tan,所以a>b>c.变式（1）（2022.邢台期末）已知a=logo,32,h=20c=0.52j,贝（D）A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b【解析】因为4=logo.32vlogo.31=0,Z?=201>20=1,0<c=0.521<0.5°=1,所以a<c<b.（2）（2022南通海门期末）已知4=log328,Z>=0°2,c=sin1,则4,仇C的大小关系是（D）A.c<b<aB.c<a<bD. a<c<bC.a<b<c3JFJF【解析】由题意，Q=Iog328=1°g22=0.6,=002>0=l,sin<sinl<sin今坐<c<坐，所以<c<A.方法3:利用函数的单调性比较大小例3设。=竽，匕=%c=*则。，。，c的大小关系为（C）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】设段)=暇r>0),/(I)令/(x)=0,得x=e.当x(0,e)B,f(戏>0,/)单调递增；当x(e,+)B,/(x)<0,/)单调递减.因“ln221n2ln4,ln3ln5-,_LL八，为a=2=-4-=4，b=3,C=5,e<3<4<5,fkb>cc.变式已知=2d115,=5ln2,c=101n,则下列结论正确的是(D)A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a【解析】6z=ln52=ln25,=l1125=ln32,2Fln25<ln32,所以<b.设段)=整，则/U)=1Jn当X£(e,+)0,f,(x)<0,当x(0,e)时，f,(x)>0,所以人幻在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，所以.火4)勺(),即与I=竽BP2)<(),所以dn2v21m,得5ln2<101n兀,即b<c.又警<野,所以Tdn5v51m,得2dn5<101n兀，即<c.综上，c>b>a.