凹凸反转（学生版）.docx
凹凸反转凹凸反转问题专题阐述：很多时候，我们需要证明函数/(X)>。，但不代表就要证明了(%)min>,因为大多数情况下，的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.规律方法/(x)>0og(%)>心)，如果能够证明g(x),m,>3)皿一则g(x)>A(x)显然成立，很明显，g(x)是凹函数，/心)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.例题1.设函数/(x)=InXYI,(x)=(x2-l)-.(I)判断函数)=/(x)零点的个数，并说明理由；(2)记MX)=g(x)7(x)+与资,讨论MX)的单调性；(3)若f(x)<g(x)在(1,÷)恒成立，求实数a的取值范围.、吉递增；(3),+8【答案】(1)1；(2)0时，(力在(0,+动递减，。>0时，MX)在(o,忐递减，在2【解析】1e(I)由题意得：>o,.r()='+3>,故/(力在(0,也)递增；又“)=,Xe/(e)=l-e,-e=l-J>O,故函数y=(x)在(Le)内存在零点，y=(x)的零点个数是1;(2)h(x)=a(x2-1)-Inx+e,x+=ax2-a-nxf'(x)=2v-=-(x>O),XXe当0时，”（x）0,MX）在（0,也）递减,当。0时，由"（）=o,解得：a±J=（舍取负值）,7士。x(,fj时，z(x)<O ,递减，'e 卷收）时'"（x）o，"U）递增，综上,ao时，MX）在（。,田）递减，。时，在（0,志递减,在（卷÷）递增；（3）由题意得：lnx-（2-i）T,问题等价于MfT-InXg-?在（l,+）恒成g)=l-4=,若记攵G)=e=ex,贝必：(力=e-e,X6XCx>l时，Ma)>0,K(X)在(L+)递增，K(X)>K(1)=O,即M6>o,若"0,由于Ql,故InX<0,故/(x)>g(x),即当/(x)Vg(X)在(1，”)侬立时，必有。>0,当。>0时，设力(x)=(Y1)一InX,由（2）彳导（l,宣），（“递减，,M力递若忐>1,即°<<3时增，故，而")>°,即的”=看"，使彳导/G)<g("),故O<<g时，/(x)Vg(X)不恒成立；若-=1,即;时，®5(x)=a(x2-1)-lnx-÷-,5,(x)=2r-+-,202',XeXXeP1e由于20rx,n1(x)=ev-ex>0,即,故一/>匚，rrLL,/illX?-2+1(X1)因此S(X)>X+-T>=-_7->0，XXXXx故Sa)在(Lyo)递增,故Sa)>s=0,即。舄时，Vga)在a，KC)恒成立,综上，ae；，+8)时，/(x)<g(x)在(l,+)3立.2.设函数/()=e'lnx+T,证明/(x)>l.【解析】22证明：(x)=e'lnx+qei,从而人)>1等价于工lnx>xe-'-.设函数g(x)=xnx,贝Jg<x)=l+lnx,所以当不£()()时，g'(x)<0；当X5，+勺时，g'(x)>().故g(x)在(咱上单调递减，在g÷上单调递增，从而K(X)在(0,y)上的最小值为“力=-(设函数MX)=Xe-1厕”(力=e-x(lr).所以当xw(O,l)时，'(">0；当XW(I,”)时，r(x)<O.故MX)在(0,1)上单调递增，在(,+)上单调递减，从而MX)在(0,y)上的最大值为硝)Y；因为gmin()=妆1)=心X(X),所以当工>0时，g(x)>M%),即/(x)>l.3.设函数/(力=InX.(1)当。=-2时，求6的极值;(2)当。=1时，证明：/(x)-9+x>O在(0,+e)上恒成立.【答案】(1)x)极大值为M2-3,无极小值；(2)见解析.【解析】(1)当。二一2时，/(x)=InX2x,/("+"JI”),X7XX2X2当XW(0,2)时，r(x)>O;当X(2,x)时，,(x)<0./(X)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减;，/(x)在=2处取得极大值/(2)=In2-3,/(x)无极小值；(2)当=l时，f(x)-+x=nx+-l下面证lnx+->-7,即证XInX+l>-7,设g(x)=xlnx+l,则g'(x)=l+lnx,在(0，)上,g'()<o,g(x)是减函数;在g+8)上，W>0,g(x)是增函数.所以g()gg)=>3,设力(力=卷，贝必'(力=,，在(0,1)上,hl(x)>ol/©)是增函数；在(1,÷)上，hf()<o,(力是减函数，11所以g)"l)=-<l，所以(X)<g(x)，BP<xlnx+lzeeeY111所以XInX+1-最>0,gpinx+->O,即/(x)-+x>0在(。,+上恒成立.针对训练1.设函数/(x)=",gM=nx+b,其中,6R"是自然对数的底数(1)设尸(X)=Va),当=当时,求尸(X)的最小值;(2)证明：当=/,b<1时，总存在两条直编口曲线J=/(X)与.Y=g(x)都相切；2(3)当白>-7时，证明：fM>4gb.e2 .设函数f(X)=lnx+0.5ax2+x+i.(1) a=-2时，求函数f(x)的极值点；(11)当a=0时，证明xexf(X)在(0,+8)上恒成立.3 .已知函数f(x)=ei-ln(x+).当=g时，求/S)的单调区间与极值；(2)当4,1时，证明:/U)>0.
