恒成立与存在性问题（学生版）.docx

恒成立与存在性问题恒成立与存在性问题专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式.还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.考法一：不等式恒成立问题【规律方法I不等式恒成立问题常见处理方法：分离参数”(x)恒成立(x)g可)或(x)恒成立(x)mm即可)；数形结合(y="x)图象在)，=g(x)上方即可)；最值法：讨论最值/()而0或/(XLXo恒成立；讨论参数.例1.已知函数/(M=Inxq若“力VY在(l,«o)上恒成立厕。的取值范围是【答案】a-【解析】恒成立的不等式为Inx-q<f,便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法Xlnx-<x2<=>xlnx-ax3<=>xlnx-x3,其中Xe(I,+00)'只需要八卜也工-丁)、，(x)=xnx-x3(x)=l÷lnx-3x2(导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将InX变为1,所X以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定g(x)的符号，不妨先验边界值)0)=-2,g"(x)_6x=上更<0,(判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化XX判断的过程)g(力在(l,+)单调递减，g'(x)vg'(I)Vong(力在(Lgo)单调递减g(x)<g=T.a-【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号.2-x-2x<4例2.已知函数/(x)=，若存在2私MwR,且X<X2<W,/(x1)=(2)=(3),使得中2(w)()恒成立,则实数。的取值范围是glog223,+<?)【解析】作出图象，如图所示，设/&)=/(9)=玉)=乙则问L2)3=r,x2=4t.令g()=XrVa),则g(f)=(4T)=T:4/,所以g'()=-3+8z=r(8-3f),所以当问1，2)时，g'(f)>O,所以g(r)在口,2)上单调递增，所以当问时，3g(f)<8,所以/()8,所以由函数/(“图象可知2"-158,所以log"3.例3.已知函数f(X)=2sinx-xcosx-x,fr(x)为f(x)的导数.(1)证明：F(X)在区间(0,)存在唯一零点；(2)若XW0,时,f(X)>ax,求a的取值范围.【解析】(1),(x)=2cosx-sx+xsin%-l=cosx+xsinx-1令g(x)=8sx+xSinX-I,则g'(x)=-SinX+sinx+XCoSX=XCoSX当Xt(O,乃)时，令/()=0,解得：x=j当le(0,J时，(x)>0;当.g()在(Om上单调递增；在(/)上单调递减又g(0)=lT=0,g(9q>°'g(%)=一1一1=一2即当时，g(%)>0,此时g(x)无零点，即(“无零点g图g<。.加呜,万)，使得g(y)=o又g()在，上单调递减x=%为g(x),即f'(x)在(，乃)上的唯一零点综上所述：尸(另在区间(0，1)存在唯一零点(2)若x0,句时,f(x)ax,即/(力-如0恒成立(x)=(x)-or=2sinx-xcosx-(6+l)x贝"(x)=8sx+xsinx-l-,/f(x)=xcosx=g'(x)由(1)可知，“(X)在(0段上单调递增；在上单调递减且"(O)=F,=，h,()=-2-a"(%="(1)=一2-，(XLX="图当-2时，hx)in=h)=-2-a0,即0'(x)0在0,句上颉立./(%)在0,句上单调递增/.(x)(0)=0,gp(x)-rO,此时/(x)u皿立当一2v0时，/(0)0,J>O,h,()<0加e停乃)，使得K)=O()在MX)上单调递增，在(%,同上单调递减又(O)=O,(乃)=2Sin乃一万COS万一(+l)乃=-drO(x)0在0,句上期立,即/G)3立当0<<一时，/<0,"图=W-"。f),使得“(%)=。.(x)在0,2)上单调递减,在卜2卷)上单调递增.X(0,%)时,A(x)<A(O)=O,可知f(%)欧不恒成立当4一时，(Ha=(x)在(Oe)上单调递减(x)<力(O)=0可知/(x)之以不恒成立综上所述：6(-oo,0【针对训练】1 .已知关于X的不等式/cosX2-/在F釜)上恒成立，则实数，的取值范围为A.3,+oo)B.(3,+oo)C.2,+)D.(2,+oo)2 .已知函数/0)=1若不等式/(x)，.恒成立，则实数，的取值范围为X-JX+ZlX<1kA.-3-22,-3+22B.-3+22,C.-3-22,D.(-,-3-22u-3+22,+oo)3 .已知函数/(X)=ex+l-anax+a(>0).(1)当斫1时，求曲线)可(x)在点(1,7(1)处的切线方程；(2)若关于X的不等式/(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.考法二：不等式(方程)有解(能成立)问题规律方法根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.例4.已知函数“)=Cge'+半J-X若存在实数m使得不等式/("z)2f成立，求实数n的取值范围为()A.f,-3UL+)B.(-,-lu-,+JC.(-oo,0up+D.(-co,-gU0,+【答案】A【解析】由/(X)=皿/+半/_工，求导，r")=d+(0)x-l,当=时，r()=r()+(o)-1,则”0)=1,当X=O时"=纳=1,则,=e,e.(x)=et+2-x,则r(x)=e11,令MX)=e'+x-1,JJ(j/«x)=e'+l>0,函数MX),即/。)单调递增，令r)=o,解得：=o,当r(x)>O时,解得：x>0,/(x)单调递增；当尸(力<0时，解得：x<0,/(X)单调递减，当X=O时，可取得极小值，极小值为"0)=1,J()的最小值为1,若诙实数n1使彳环等式/(m)2，贝!|22“(x)min=l,则2/一一io,解得：zz或.;,即实数n的取值范围是(yo,.l,+),故选：A.例5.已知函数”x)的导函数为(力，且对任意的实数X都有/'(x)=eT(2x+3)-"x)(e是自然对数的底数)，且"0)=1,若关于X的不等式/U)-，<()的解集中恰有两个整数，则实数W的取值范围是()A.-e,0)B.-。，0)C.(-e,0D.(-e2,【答案】C【解析】f'(x)=等-f(x)即er(x)+f(切=2x+3,所以e"(切'=2x+3,贝Mf(X)=X2+3x+c,所以f(X)=二学S,因为"0)=1,所以F(O)=C=I，=(2x+3)eA-e*(2+3x+l)-(x2+x-2-(+2)(x-1)由，(力>0得-2<xvl,止匕时/(x)单调递增，由广(力<0得X<2或Ql,此时/(x)单调递减，所以X=I时，/U)取得极大值为/=*,e当=-2时，取得极小值f(-2)=-<o,又因为/(I)="。，f()=l>0,-3)=">0,且>l时，/(x)>0,/(x)<()的解集中恰有两个整数等价于/(X)=+；+在V=根下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则/(T)<mW0,解得一e<m0,所以一evm<0时，/(x)<0的解集中恰有两个整数-1，-2,故实数，的取值范围是(w,0故选：C【点睛】/("-相<。的解集中恰有两个整数，需求出丸)解析式，所以对已知条件/(x)=*(2x+3)-/(x)变形可得卜"'=2x+3即打(X)=X2+3+c结合"0)=1可求出/O)=",?+1,/()-m<0的解集中恰有两个整数等价于/(X)=立>!在ee丁二，下方的图象只有2个横坐标为整数的点,对“力求导数形结合即可求出实数，的取值范围.例6.已知函数f(x)=-fllnx-+ax,aeR.x(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；2(2)设g(x)=/(X)+?'(幻，若关于X的不等式g(x)-+y+-l)x在1,2上有解,求的取值范围.【解析】(I)由题意知，/(幻=，_空4+/_卞_1),XXX令"(X)=(Or-力*-1),当v时，or-，<O恒成立，当x>l时，F(x)<O,gp,(x)>O;当OVXVl时，F(x)>Olff,(x)<O;，函数/在(O,D上单调递增,在。，S)上单调递减.IxClXX_X、(2)因为g(x)=/(X)+才(X)=FInX+ax+x；Fa-anx-ex+2ax-atXXJr2由题意知，存在小或2,使得出。)泊+争(4-1区成立.2即存在XOW1,2,使得一nXo+(+l)Xo-。成立；2r-令?(X)=FlnX+(+l)x-,x1,2,、-a,(x-)(x-1)rc,.h(x)=Fa+1X=,Xw1,2lXX当时，对任意y,2,都有*)of函数心)在工2上单调递减，"(x)mini=-ln2+0成立，解得O,.O;当l<“<2时，f(x)>O,解得lv<令"(x)VO,解得<<2,函数/心)在UM上单调递增，在。，2上单调递减，又力=g,.(2)=-ln2+0,解彳导0,.。无解；当2时，对任意的XWU，2,者B有(x)0,函数心)在工2上单调递增，mi11=(=o,不符合题意，舍去；综上所述，”的取值范围为(-,0【针对训练】4 .已知/(力为奇函数，当Xqo,1时J(X)=I-2汇-g,当XG(YO,J(X)=I-"I,若关于X的不等式f(+"z)>f(M有解，则实数，的取值范围为()A.(-1,0)(0,+oo)B.(-2,0)l(0,-kx>)C.(；.(0,+)D.(_g_ln2,0)_(0,+oo)5 .已知函数g(x)="Vg4xe),e为自然对数的底数)与v)=31n1的图象上存在关于X轴对称的点，则实数。的取值范围是()A.1,-+3B.1,/-3C,+3,e33D./-3,+OO)26 .已知函数/(x)=-+nx(o>0)X(1)若函数.V=/(X)图像上各点切线斜