整理数值分析计算方法超级总结.docx

工程硕士数值分析总复习题（2011年年用由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习一.解答下列问题：1）下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么？）：a）对e=2.718281828459045,取*=2.71828b）数学家祖冲之取常作为冗的近似值.c）经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位，位。2）简述下名词：a）截断误差（不超过60字）b）舍入误差（不超过60字）c）算法数值稳定性（不超过60字）3）试推导（按定义或利用近似公式）：计算八时的相对误差约等于X的相对误差的3倍。4）计算球体积V二时，为使其相对误差不超过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围。5）计算下式25738PG）+34（X-1）5（X-1）4（X-1）3（X-1）21时,为了减少乘除法次数，通常采用什么算法？将算式加工成什么形式？y-<26）递推公式y-10y-l,1,2,如果取力/2141yo（三位有效数字）作近似计算，问计算到yo时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二.插值问题：D设函数/（X）在五个互异节点x,X2,X3,X4,X5上对应的函数值为/7力,力,儿,根据定理，必存在唯一的次数3)的插值多项式P(X)，满足插值条件(B).对此，为了构造Lagrange插值多项式L(X),由5个节点作(C)个、次数均为/U次的插值基函数/.(,X)=_(E)一,从而得Lagrange插值多项式Z/=(F)一,而插值余项R(x)f(X)L(X)=_(G).o2)试用三种方法求过三个离散点：A(0,1)、B(1,2)、C(2,3)的插值多项式。3)求函数于在0,1上的近似一次插值多项式。4)由函数值表：X：123er：0.367879441,0.135335283,0.049787068求&21的近似值.歹阿X一/一5)利用插值方法推导人卜一7尸XJi=Ojdj丰i三.拟合问题：D对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是和心.2)对同一个量的多个近似值，常取其算术平均作为该量的近似值，这种做法的意义是什么？3)设有实验数据如下：1,361731952.28_f14.09416.84418.475_20.963按最小二乘法求其拟合曲线。4)已知某试验过程中函数/依赖于X的试验数据如下：X.12334fi：0.81.51.82.0f4101826按最小二乘法拟合出一个形如S=+乐2的经验公式。四.数值求积：2写出数值求积公式的般形式，指出其特点，并说明它对计算机的计算有什么意义？试按最小二乘法拟合出一个形如S="r+ZZX2的经验公式。5）设有实验数据如下：X12342)简述数值求积公式的“代数精度”的概念插值型求积公式J成IarRzA中，每个系数可用公式二«3) k=0GQ计算,它们之和才Aa-一，其代数精度ICJ_szQ又Newton-Cotes公式的一般形式为一(二,其主要特点是其Cotes系数之和寸CO=一(厂一,其代数精度(G)一；kk=Q考察数值求积公式j(x)dJA(-l)+A,(0)+AAD,_1-1O1、直接指出:它是什么类型的公式?为使其精度尽可能高，AMM应取什4) -1O1么确值？它是不是GaUSS型公式？公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果)o6) 利用复化SinlPSon公式求积分的近似值(只需列出算式)。dx的近似值，试写出使用Ii个等分点函数值的求积1 +XI7)利用现成函数表，分别用复化梯形公式7和复化Simpson公式S计算积分.公I=j6y4-sin23d®oO九362兀:363兀36J4-sin221.99810011.99244734兀.361.97053865TT.u1.95483861.9364917五.解线性代数方程组的直接法：DGaUSS消去过程中引入选主元技巧的目的是卜列中的哪项或哪几项？A.提高计算速度；B.提高计算精度；C.简化计算公式;D.提高计算公式的数值稳定性；E.节省存储空间。2） 采用“列主元Gauss消去法”解下列方程组:X2a）用"列主元Gauss消去过程''将方程组约化成上三角方程组;b）用“网代过程”依次列式计算出方程组的解。3）设方程组-32X10-7X5-1X现采用“列主元GaUSS消去法”求解，试回答：a）所用列主元GaUSS消去法包括哪两个过程？b）要用几步消元？O每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）？d）现经第1步消元结果，上述方程组已被约化为10 -7直至约化成上三角方程组。请你继续做消元计算,e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。六.解线性代数方程组的迭代法：1）解线性代数方程组X=BX+子的基本型迭代公式X（+>BX（k）+/,Z:-0,1,其中8称为什么？X0又称为什么？如果迭代序列La）有极限X*（即迭代公式收敛），则极限X*是什么？2）设解线性代数方程组及-b（其中A£x”非奇异，b丰（）的迭代公式为x(k)x(k)-a(Ax(k)b),Z=O,1,则其迭代矩阵是什么？此迭代公式对任意的初始向量M°）收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量工收敛的一个充分条件是什么？X3）设线性方程组IX试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛，为什么？试用初值皿=Q°）7计算GS迭代公式的前三个值.-44）设方程组8试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式，并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.5）设线性方程组1-0.5aAx=b,A=-0.52-0.5,x,heR3-a-0.51请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和GS法均收敛的。的取值范围.七.一元方程求根：1）写出求方程yw=M-3%7=°在U,2中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2）已知方程XTnX=2（X>1）的有根区间3,4.试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3）用Newton迭代法求方程f=33x-1=°在=2附近的根，试写其NeWtOn迭代公式；并说明其收敛情况。4）试写出求：'2的N。WtOn迭代公式，并说明其收敛情况。.懵微分方程初值问题：D常微分方程定解问题分为初值问题和（八）问题.初值问题是指由（B）和（C）两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基本形式（D）进行研究。设函数y（%）是某初值问题的解析解，则该初值问题在八处的解为的，）而数值解（通常记）为（F）,它们的关系是（G）.若记y<%）是初值问题在点I处的解，yI是由某数值方法得出的+】j÷1%+i处的数值解，则该数值方法在%+i处的局部截断误差是指一）.2）设初值问题y9=%y2-O<%<0.6yy(0)=1试用EUler方法取=0.2求解上述初值问题的数值解。fy'=8-3y,1<%<23）设初值问题1/（y（1）-2试用梯形方法求其解在两点=.2,/.4处的值yUP的近似值。y'=y2+2%+14）设初值问题y（0）=试用改进的EUlor方法，并取=OJ,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机律法描述；不必求出解的具体数值）fy=3y（l+%）,0<%<15）设初值问题Vy（O）=I试用4阶经典R-K方法，并取/7二0，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值）。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习：1）设=0,23"求，11%,%112,11%I112设=34,求叫，叫（4）L2 )用较简捷的方法分别求下列的插值多项式“(%)和P(%),并写出其余项公式：a) /7(-1)=-1,/7(0)=H,(0)=0,/7(1)=1b) P(O)=1,P(1)=P,(l)=0,P=23 )用插值方法求在%=°处与CO3%相切，在二冗2处与cos%相交的二次多项式尸2(%)，并推导插值余项的估计式为1 .ncos%一P(%)<-%2%-I4)试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解：'2%+4%=113%-5；=3<12%+2%=612、2%1+%2=75)要计算函数y(%)-jXe,2dt在=o.2,0.4,0.6三处的近似值，o试用解初值问题的数值方法，设计其计算方案(要求采用二阶精度的计算公式).6)用追赶法解三对角方程组：H21,一12,1n对方程组心二8力=0.318=2拟用迭代法%(+)=%（八）+a(%（八）-b),攵=0,1,求解，试确定a的取值范围，使得上述迭代公式收敛.8)对迭代函数3%)=%+九(2-5),试求使迭代公式x二甲(x),k-0,1,.,局部收敛于无*=J5的入的取值范围。19）试给出求的NeWton迭代公式，使得迭代公式没有开方和除频算.一LXLy10）由迭代公式X=一十寸，k=0/，.，产生的序列y对任何MX2kk初值XOW均二阶收敛于什么？解释其原理。11）写出求方程x2-2+1=°的NewtOn迭代公式，并指出其收敛阶（数）。（可以有两种答案）12）若用EUler公式（力/=门+匕£（又“，小）解初值问题y=y1.y（O）=2证明其数值解为y=2（,-h）n,并证明它收敛于准确解。y（xn）-2e×n讨论该数值方法的绝对稳定条件。13）设q（x）%是区间上带权P=X而最高次项系数为1的正交kit=O多项式族，其中4O（X）=I,试求夕7（%）。