概率论与数理统计C课件第四章_第四节与Riemann积分的联系.docx
第四节与Riemann积分的联系本节以£八XMX记常义或广义R积分.3.4.1定理(1)设-8<<b<8,/是区间Jdb上的有界实函数，则/在J上及可积，当且仅当/在J上几乎处处连续；(2)当/在J上及可积时也必Zl可积，而且两种积分值相等.证明J,JJ,m1,2,任取区间JTda的一列分割使M''4"=12左是J的无公=LlLmaX用4TOsT8)共内点的子区间，且7"分别以名和“记/在小区间JM上的下确界和上确界，令(x)-lim(O,vr(x)-lim)rxeJ三,其次定义G,这时有对VXeJ,V&0J3>0,当£亡J旦ILXk$时有/0>(Kx)-s.(2)存在&)UJ,4X,使/&)÷俨(乃.对W(X)有类似的意义.由定义显然吠x)«/C)«叭),而且/在X连续O何力W(x)/*).首先证明仇TPae只需证明:若%WJ不是任何小区间JIlS=L2,=124)的端点，则有0()->fO)W72.取*使XWJR',是/在JR上的下确界在上/S)?优)=%,Um()<hm/(x)三伊&)从而J、已知心(毛)是/在JR上的下确界，.，,对“2L取/e%使/心)仍5)+%Vx3l-0<WjKm普耀7.0(«)TZb于是Vr()wHm%)K，武/)41im(xw)*4hm吗(F)力"hm<,(xi).<)1hm¾(x0)<m,(x0)<<p(),从而故G(%)->d%).同理可证明代"÷"Qg.于是。，群在J上可测.2；'在J上有界，显然（%和（MJ一致有界，从而由COIo335（有界收敛定理）知。WWCk力,而且34i,£dm*mildm7皿）jmJ.799i,JJd用IimLWtlCbnbm:>加话S、由及积分理论知J上衣可积OS'S。（伊加=C曲.已知WEd,由PrOP3.2.5(3)知，/在上K可积Qq'SVO,在J上几乎处处连续.若/在J上衣可积，则/在J上几乎处处连续，从而3°a于是.”£“在丁上£可积，而且(加/BmsfS)dx例1设/(X)为°上的Riemann函数，即当"=''4"是互质的自然数时，“=%；当X是无理数或彳0时，小)”讨论了在【°,1上的火可积性.解显然°"("K"近1时).任给月21,由定义只有有限个XW【。用使(X)2%,从而由连续性的£-3定义知/在每个无理点Xe(OJ)连续，从而/在【°】上几乎处处连续，由Th3.4.,/在°上R可积，而且-0÷0«0注意:例1中的函数,在每个有理点XG(°】间断.可见，R可积函数的间断点仍然可能“足够多”，以至在定义域内处处稠密.例2设,在区间匕可上常义及可积(从而,在上有界实函数)，gwC(R),则g(x)在必力上及可积.证明设aS/(x)«£(a«x<b时)VgeC(),g在区间9，。】上有界，从而g(/*)在%】上有界./在【°，6】上火可积，1.由Th3.4.知/在«/】上几乎处处连续，再由复合函数的连续性知g(x)在9,句上几乎处处连续.,.g()在03上点可积.3.4.2定理设对VAGSA),/在【4切上几乎处处连续且有界，则(广义积分)J>)K(、分0W,当广义积分工“项"绝对收敛时，(广义积分)(/")小"积分)工网.从而/W2g.b)O广义积分Jy(X)右绝对收敛证明任取点歹4uQ")使4令ZkAJ,则在a,b)上”AjTM,于是由LeVi定理3.3.1及Th3.4.1,(|/|Mlhjnfl4" lmj"加 呼IfV(X)IdX £I/。)IdX若Lg)MX00,即广义积分("x)dx绝对收敛时，则fdtn<8gpei1(a.4)Hl4Mw2(XWEb),且在协上，lT/，由Lebesgue控制收敛定理3.3.4及Th3.4.1知(加|咿j川Wlmjdmlm/(x)<fxj(x)dxTh3.4.2推论若,在区间(/垃内几乎处处连续，而且广义A积只有有限个奇点，则(广义长积分QaM=(%分Rw.>jj当广义及积分L"'"绝对收敛时(广义R积分积分)工如.从而/eA(,b)Q£f(×)dx<B例3设a>0,讨论函数S)PsmX在区间(0,8)上的可积性(包括乙可积性和广义K可积性).(1)易知当<2时,/"'"，下"绝对收敛；当N2时,S的“詈发散.显然软切广加小尸当.>1时，f”3心XFnX绝对收敛当CKa41时，对Vb>l,用分部积分法得/(x)=/sinXdXCOSX从而门(於吃Oa9收敛.当0<a«l时，由火砌smx>snaXx*1cos2x定.2/粒8综合得出结论：当l<<2时，/(小K从而ed(0.8)(2)当0<Q41时，/S)在(0,1)上广义及积分，在(1,«>)上也广义及可积，从而/(X)在S8)上广义及可积.但fl)以=8,从而1/。)以=8.从而,在(8)上非Z可积当22时，/(X)在(OJ)上发散，从而/(x)在(a8)上也发散，从而/(X)在(8)上非广义出可积，当然,在(8)上非心可积.
