构造函数、利用放缩法比较数式的大小.docx
构造函数、利用放缩法比较数式的大小考点梳理构造函数比较大小问题，常用的放缩不等式有(1) sinxxtanx.0x<-；I2)(2) eA%+1(xR),当X=O时取等号；变式：e'ex,当元=1时取等号；(3) nxx-(x>0),当X=I时取等号：变式：In(X+l)x;(4) nx-(xl),当X=I时取等号；X(5) lnx-(>0),当x=e时取等号.e重难点题型突破3111例1、(2022高考甲卷)已知a=二为=CoS-,c=4sin,则()3244A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>h例2、(2022新高考1卷)设,a=0.1e°,C = -Ino.9 则()A. a<b<cB.c<b<aC. c<a<b2C 5A. 1B.C.一22D. a<c<bD. 3点睛：通过构造函数比较两个数式的大小,是近几年高考的热点.求解的关键是仔细观察所给式子的结构特征,合理构造相应的函数.例3、（2023山东济宁二模）若实数，b,c,l,且满足e=e",e'-2=1.2e*右=16e',则。,b,c的大小关系是（）A. c>b>aB. b>a>cC. a>b>cD. b>c>aB. a<c<bD. b<c<a例4、（2。23四川凉山二模）已知an翳小晶Q釜'则a,b,C大小关系是（）A.c<b<aC.c<a<h例5、（2023湖北荆州中学校联考二模）已知=匕，b=手（e2.718）,c=sin0.1,则（）eA.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b例6、（多选题）（2023梅南华侨中学高三模拟）已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不无怫的是（）23A. In2>-B.In3<-C , C. ln>-CIn33D.<-In例7、（2023广东统考二模）已知=，b=,C=与，则（参考数据：In2。0.7）（）2eev2A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b例8、（2023浙江绍兴一中校考模拟预测）已知=2g=2.叫c=.9,且技+加%<0,则（）. c>a>bC. a>h>cB. b>a>cD.h>c>a练习一、选择题1、（2023珠海高三模拟）已知Q=eSini,b=sinl,C=COSl,则（）A.a<c<bB.a<b<cC. c<b<aD.c<a<b2、（2023广州十七中学高三模拟）设=3sin!*=6sin',c=cosL,则（）366A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<b<c3、（2023重庆市万州第二高级中学模拟预测）设=3ef*b=*C=L6,则（A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<aI202420244、（2023四川成都统考二模）已知/，6=In釜，c=l°g5募，则（）A.c<b<aB.c<a<bC. b<c<aD.a<b<c二、多选题5、（2023山东德州模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（）a 2a ec >22B. In2>- 3C.In 1<- eD.In 2 In >2 6.已知O=h=tC=正1（其中e=Z71828是自然对数的底数），则下列大小关系正确的是（）45A. a <h< cB. b<a<cC. a<c<hD. c<a<h解析3111例1、(2022高考甲卷)已知=二*=cos,c=4sin,则()3244A.c>b>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】因为当Xe(OA),x<tanx,故,<tan9,=4tanl,故:>1,所以C>R24484bz,- = cosl_31cosl1. ±k4 324 I 32 J设/(x)=COSX+gY_1,X(0,+c0),/,(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+)单调递增,故所以cos；|>0,所以方>,所以c>b>m故选A例2、(2022新高考1卷)设=0.1e°,b=g,c=-ln().9则()D. a<c<bD. 3A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<b35A.1B.C.一22【答案】C解：(求差比较，结合构造法)67=0.Ie01,b=-tC=-In(I-OJ),I-U.Iln6r-lnZ>=0.1+ln(l-0.1),令/(x)=x+ln(1-x),xe(0,0.1,则f)=1-=<0,1-X1-X故/(X)在(0.0.1上单调递减,可得/(O1)<(O)=O,gJIna-InbVO,所以a<b；U-C=OAeoi+In(I-OJ),令(x)=xex+ln(l-x),x(0,0.1,则g,(x)=xex+ex一一L=(1+x)(1-x)g-1,令k()=(i+)(>)F-l,所以kx)=(-x2-2x)ex>0,')I-XI-X所以&*)在(0,0.1上单调递增，可得Hr)>A(O)>O,即g,(x)>O,所以g(x)在(0.0.1上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.故c<a<b.点睛：通过构造函数比较两个数式的大小,是近几年高考的热点.求解的关键是仔细观察所给式子的结构特征，合理构造相应的函数.例3、(2023山东济宁二模)若实数”，b,c0,l,且满足e=e",e,2=1.2eh,ce,6=1.6ec,则叫b,C的大小关系是()A.c>b>aB.h>a>cC.a>b>cD.b>c>a【答案】C【解析】由e=e",ze,2=l.2ece,6=L6eS得二=L4=&，二=或Ceeeee令/a)=金，则ra)=9，S<wr>o,当x>时ro,所以/(X)在(-8,1)上是增函数，在以+oo)上是减函数,于是F(I)>f(1.2)(1.6),即3)>fS)>(c),又a,b,cO,l,所以>b>c.故选：C.例4、(2。23 四川凉山二模)已知怒小e丽,则a, b,。大小关系是( 2022A. c<b<aB. a<c<bC. c<a<hD. b<c<a【答案】D【解析】因为x tanx,(x<g'所以瑞<3急即">J (该结论令/(x) = tax,求导易证)20222022 20232022l 202220231 2023 2022 1In+12022 202320232022令g(x)=lnxH1>X(l,+),(X)=2=>»g(x)在(1,÷)上单调递增,>g(l)=0,lnc-lnZ?>0,即c>b,综上可知：bvcv.故选：D0204例5、(2023湖北荆州中学校联考二模)已知=?,b=(e2.7l8),c=sin.l,则(. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b. -1 a. f 0.2 0.4 0.2【解析】由已知。一人二? e【答案】Be2-2),Xe2>2.72=7.29>2,所以，a-h>0t所以。>乩a=-=-t下面来比较。与。的大小，即比较2x0.1与4Sin(H的大小,令/(x) - 2x-sinx,X 0,2，则/'(x) = 2-8sx.令 g(x) = 2-cosx,则g'(x)=兀SinX0在Oq上恒成立,O又唱所以g(x)=2-cosx在Ow上单调递增，所以，/'(x)=2-cosx在0词上单调递增.2-cos=2一一|<0,所以，/'(x)<0在0,上恒成立，所以，/(x)=2x-兀SinX在0,2上单调递减.由0<0.1<?,有/(0.1)=0.2-兀SinO.Ivf(O)=O,602P0,2<sin0.1,-<sin.l,所以<c.综上所述,8VaVc故选:B.例6、(多选题)(2023海南华侨中学高三模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不F硬的是()23A.In2>-B.In3<-ee.,In33C.ln>-D.<eIn【答案】ACD【解析】构造函数/(x)=hi->x>0),/(x)=-!-=,eXeCBV所以“可在区间(0,e)J(x)>0J(x)递增；在区间(e,+)J(x)vOJ(x)递减，所以/(x)3=/(e)=lneT=。，故/(x)O,当且仅当"二e时等号成立即InK-EO,lnxW,当且仅当X=e时等号成立.ee所以k2<2,lnrvF,AC选项错误，ln3<°,B选项正确.eeeIThln33In3In人(、Inxz八、zI-Inx对于D,-<-<=><,令g(x)=(x>0),g(x)=,In3xx所以g(x)在区间(O,e),g(x)>O,g(x)递增；在区间(已+00)*(力<0,&(力递减，所以g(3)>g(),苧>皿=¥>3,D选项错误.故选：ACD3In例7、(2023广东统考二模)已知=萼，=-,e=,，则(参考数据：ln20.7)()2eNA.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】因为。=烁=竿=*C=曙，考虑构造函数小)=¥，则/M)=号”，当0<x<e时，*)>O,函数F(X)在(0,e)上单调递增,当x>e时，r(x)<0,函数/(x)在(e,+8)上单调递减，因为ln20.7,所以e°2,即e*>(e°)24,所以3<4ve",由Nln3In4Ine"nIn3In2Ine*jln3ln3日Jln3ln2Ine*.,-.4fc所以>>-l，即>>一k，又F-V，所以>>-k，故b>>c,故选：B.34732e*3ee2例8、(2023浙江绍兴一中校考模拟预测)已知=2/=2.叫C=I9，且j1+in的<0,则().c>a>bB.b>a>cC.a>h>cD.b>Oa【答案】A分析：根据指对互化将。=2,匕=2.1。94=1.911,变形得IIla=加2/IIb=O.9E2.1,Ec=I.Ilnl.9,构造函数/(%)=(l-x)ln(2+x),x-0.1,0.1,求导验证其单调性，即可得函数值In
