第10讲放缩法赋值找零点.docx

第10讲放缩法赋值找零点在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下：1 .直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如/(0)J(I),f(e)等.2 .参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如/=aea+3na,这时，无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号.3 .双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号.参数放缩赋值法参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下：第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用臼费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤.第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点，则往大放缩.第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围.【例1】函数/(x)=g+2x+(2-c)lnx,若曲线=(x)在点X=I处的切线/与C有且只有一个公共点，求正数。的取值范围.【解析】易得切线y=4x+-2,代入尸/(x)整理得以幻=和2卜2(1)+(2-a)lnx=0,题设等价于函数g(x)有且只有一个零点，gx)=a22x+2.=X(x-1)(oi+-2)9X令g，(X)=O可解得百=或电我们来讨论两个点是否在定义域内，以及比较两个a点的大小.2/7(1)当0时，即2时，可知当x>l时，g<x)>O,g(x)单调递增.a当OVXVl时，g")v,g(x)单调递减.x=l是g(x)唯一的极小值点，也是最小值点.且g=0,故2满足题意.(2)当20>O,即0vv2时，由，(幻=0=西=1,x,=2g.aa当为=，即=l时，g'(x)=WL0，g(x)单调递增.又g=0，.a=l满足题X设.® x <x2,即 O<<l 时，1 <x<2-a,g'(x)<O ,g(x)单调递减,g()Vg=0.我们接下来需要找到勺的右边是否存在点>-V2使得8(%)>。，此时要找函数值大于零的点,所以要往小放缩，我们不难看出，当x>a>l时，(2-)111x>0,所以直接对g(x)进行去项放缩，g(x)>-(x2-l)-2×(x-l)=(x-l)(x+l)-2>(x-l)-x-2=O.2v7L2|_2_右左42-a二.存在=>.aag(%)>M焉一1)一2(%一I)=(XoT)(+l)-2>(-l)0-2=0.在(。，Xo)内，g(x)存在零点，.g(x)至少有两个零点，不合题意.当2z£<,即l<<2时，在(七，1)上，g<x)v,g(x)单调递减，.g(9)>g(D=°在(°，与上g*)单调递增，.在(o,与上希望存在修，使g(s)<o此外要找到函数值小于零的点，应往小放缩，不难看出，当0<xv三vl时段(2-i)<o,-2(-i)v2.-2I去项、放缩得g(x)<2+(2-)lnx=O=0<均=e2-“<(其中不等式e7V-).2.存在巧=e"H<与q<l,并注意到微(4一1)<0, -2(巧-1)<2.二在1°，亍aX内g(x)存在零点,从而g(x)至少有两个零点，不合题意.综上所述，=l或42.【例2】函数/(x)=lnx-r(eR).若方程/(x)=-2有解，求的取值范围.【解析】方程/(X)=-竺口/有解=函数(X)=心工_火+伫112有零点22(a-)x2-ax-1n(x)=(x-l)(cr-l)x-l.XX(1)当。=1时，z(x)=lnx-x(x-I)-X=-1<0(证略).力(x)无零点.若aH1,贝!/?'(X)=O=$=1,X2=-.a-(2)当时，即不>巧，则百为极小值点，MD=-<0,需要在X的右边赋值见,使得(-o)>O,我们直接通讨参数放缩赋值法可得.要使得MXO)>0,则需要往小放缩，当xl时，利用去项放缩法可得,.ci2(a1)r,2c.h(x)>-ax+x=xx-a=O=>a=>1.22)a-又力(2)=ln2+Xo(2-a)=ln2>o,由零点定理得(X)有零点.(3)当时，即不<易知X=I是(幻的最大值点，令力(X)ia=力(1)<0=-1<。<1，MX)无零点.于是剩下Mx)max=(l)N0=a«T，由常数赋值法得力(2)VO,.Z(X)有零点.当一IVaVl时，A(x)max=(l)<0-1<a<1,MX)无零点.当T时力(x)nm=z(l)0,又经观察力(2)V0,.林x)有零点.综上所述>1或4-1.【例3】已知函数/(x)=e'+/(R),若/()在R上有且只有一个零点，求。的取值范围.【解析】(1)当>0时，/(x)>0,不合题意.(2)当=0时，/()=/有唯一零点，符合.(3)当v时，一方面/(0)=v0.当XVO时，f,M=aex+2x<0f此时/(x)单调递减.只要找到一个点与<0使得/国)=讹“+”；>0即可.若N为某个负常数，因负数。的任意性，无法确保f(x)>O,故西须与。有关.必须选取一个含参数的值作为赋值点，选取过程会结合放缩法的运用.当XV-IVo时，禾Ij用单调性放缩可得/(x)=e'+*>i+>一>n<“，取xx=a-.=-lvO,使/()=e*+#>+#>白一%>0,且当x<0时/'(%)=aex+2x<0./(x)单调递减.在(to,0)内f(x)有唯一零点.当x0时，须/(x)无零点，而/(0)<0,2.x>0,f(x)<0,BP-a>.er记g(x)=-(x>0),g'(x)="2",令g'(x)=O=Ab=2，ee当0<x<%时，g'(x)>O时，g(%)单调递增.当x>*o时，g'(x)<O,g(幻单调递减.444'g(x)max=()=-=>-«>«<-.eee4=0xkci<z.e*评注:对于(3)题为何放缩找点的方法有很多种，比如当x<0时，可以直接利用单调性放缩得f(x)=aex+X2>a×+X2=0,【解析】得Xl=-W/.加=-4-a<0»使/(x1)=aex'+X：>+#=0,且当x<0时f,(x)=aex+2x<0ff(x)单调递减.在(70,0)内/(X)有唯一零点.【例4】函数/(x)=InX-Or,其中'为实数，求/(x)的零点个数，并证明你的结论.【解析】(1)当0时，fx)=-a>Of/(x)单调递增，而/(e)=l-e>O,利用函X数单调性放缩找到西=e的左边x>X2=ei.由参数放缩赋值法可得/(e"T)=(Je"T)-l<0,依据零点定理，/(©有且只有一个零点.(2)当=!时，f(x)=InX-%.,f,(x)=-=O»x=e.eeXe.x=e是f(x)的极大值点，也是最大值点./.f(x)/(e)=O,lnx-×x,当且仅当x=e时，/(x)=O.e故/(x)有唯一零点x=e.(3)当OVaVL时，令尸(6=2=0,x=-(极大值点).列表如下:eXaX(吟2a，+8)(+O一/()单调递增f()/max单调递减/(力2=/(£|=1，一1>0.在(0,：)上，/=-<0且/(X)单调，.J(X)有且只有一个零点.在+oc)上，显然，>L注意至J(2)的结论InXV),由参数放缩赋值法可得f二=21/=2(InL_L-I<0.同理f(%)有a)aaa2a)ea2aJ且只有一个零点.由得/(x)有两个零点.综上所述，当<0或a=4时，/a)有1个零点；当0<。<!时，/(%)有2个零点.ee注意：在H,+oo上，利用函数单调性放缩找点三,，利用InXWJX放缩可得a)dae/11I1a11a(l111VaS«aeaa2aea)同样可以利用不等式e'>x放缩找点，3e->-,同时利用不等式ex/。)，放缩验证a1fea=aea=a-e<0.不等式111-XOeXx,当且仅当=e时，等号成IJ6zIJe-5-iiII立，可知d>二>与三个赋值点-,4,6。都是可以的.alCraCLae那这三个赋值点是如何找到的呢？1L2LL我们还是从不等式InXL开始探究：InH2W</=>(x)<ee(大于U.a也就是，要找小于零的点，就把函数往大了放缩，尽可能放缩为累函数不等式，进而解不等式，找到点，在这个点均=(大于L)的基础上继续放缩羡又可以得aaaaa到其他点.双量最值放缩赋值法如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值，结合函数单调性来判定函数的符号.【例11设函数/a)=/*-Hnx,讨论/<工)零点的个数.【解析】(x) = 1(2c2x(1)当0时，(x)>0,故r。)无零点(2)当>O时，F(x)零点的个数即g(x)=2xe?A-(>0)零点的个数.在(0,+oo)上g()单调递墙又g()=a(2e-1)>0,下一步寻找正数XO,使g(%o)<O;假定xO=>g(O)=-<O,故应将与锁定在0右侧一点点.下面用两种方法来找赋值点，双量最值放缩赋值法:取XO=mine，；1,g(xo)2xqe*-a=-2<0,依据零点定理途径，存在一个零点.参数放缩赋值法:要取小于零的点，需要往大放缩，当0<x<l时，由常用指数不等形+整体代换可得F=<一，于是当OVXV即0v2xvl时，e2'<一二>ex1-x2-2xo*aov-g(x)<=0,x1=<a,即X在。的左边，g(x)<a,取g()<1-2x2(«+1)l-2x乌一-a=0.依据零点定理，有一个零点.l-2x1【例2】函数/(x)=(x-2)e"+(x-l)2有两个零点，求的取值范围.【解析】,(x)=(x-l)(et+2).(1)若>0,当x>l时,/(幻>0,/(x)单调递增.当XVI时，r*)<0,/(x)单调递减."(X)min=/=Y<().一方面，当x>l时，