第一章三角计算及其应用.docx
第一章三角计算及其应用在数控编程、建筑、测量、机械加工及电工学中，经常会用到三角函数的知识，进行相关的计算。本章主要介绍两角的和与差、坐标变换与参数方程、夏数及其应用及逻辑代数初步等内容。1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式1.1.1 两角和与差的余弦公式实例：在初中时我们就知道COS45=,COS30=,由此，大家可以猜想,22cos75=cos(30+45)是不是等于CoS30+cos45呢？如果COS75=COS30+COS45,则cos75=+>1,明显出了问题，这样的猜22于是，OA-OB = PAMoqCOs( + ) = cos( + )又因为0A。8=cosacos/7-sinasin所以cos(+/?)=cosacos一SinaSin尸.至此，我们就得到了两角和的余弦公式:(11)cos(+/7)=cosacos/一Sinasin将上式中的换成-万，则有cos(-)=cosa+(一夕)=cosacos(-)-sinasin(-/?)=cosacos'+sinasin至此，我们就得到了两角差的余弦公式:cos(-)=cosacos/9+sinasin(12)说明：当a、£为任意角时，(1.1)、(1.2)式仍然成立，读者不难通过锐角情况下的结论以及诱导公式来证明.想一意现在你可以算出cos75了吗？知识巩固例1求8S15的值。立XB 2 1 6÷2 X2 X2 T解由于15=45-30,可以根据公式(1.2)得到cos15=Cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30512例2设Sina二点，sin/7=,且a和4都是锐角，求cos(a+0的值.解根据已知条件，可得由公式(1.1)得cos(a + 6)=cos a cos/y-sin a sin 已知Sina4,a/*力C。S加一口,匹(肛斗)5 2 /1。2 /，求cos(a + 4).解 由Sina =，a -, ,得CoSa =-Jl-Sin?a25 5M a ( 田.Q rT- 1 ( if 310一而/gI?'万得SES 7Z0 =-h- =-由COS-则cos(+6)=COSaeOS6一SinaSin4练习1.1.11 .计算下列各式的值(I)cos800cos200÷sin80osin20°(2)-cosl50+-sinl5o222 .设(,三若cos(+工)=1，求CoSa的值。I2；481.1.2两角和与差的正弦公式问题我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？新知识7根据上节的知识，我们可以计算出cos()=sin,sin(a)=cosa,所以22sin(+4)=cos-(a÷/7)TT=cos(-a)-Jl=cos(-)cos+Sin(I-a)sin=sinacos+cosasin至此，我们就得到了两角和的正弦公式：sin(+)=sinacos+cosasin?(13)在(1-3)式中，以一夕代换夕，就有sin(a一)=sina÷(-)=sinaCOS(一6)+cosasin(一/)=sinacos-cosasin至此，我们又得到了两角差的正弦公式：(I-4)sin(-)=sinacos-cosasin想一想为什么cos(a)-sina,sin(a)-cosa22知识巩固例4求sin75的值。解由于75=45+30,可以根据公式(1.3)得到sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30也X也yf216÷2VxT+Vx2-4-例5设Sina=a,且为第三象限角，求sin(-工)的值.53解由。为第三象限角，知COSa=-l-sin2a.41432+23所以，sm()=sinacoscoscrsin=×()×=33352525练习1.1.21 .求sin315°的值.2 .求sin800cos350-cos800sin35°的值._,.2(Tr、x.3 .已知Slna=一,且,乃,求sn2a.13121.13二倍角公式问题受练习1.1.2的第3题的启发，你能发现更一般的规律吗？新知识在公式(1.3)中，当a=/时，有sin2=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa,即二倍角的正弦公式：sin2a=2sinacosa(1.5)同样地，在公式(1.1)中，当a=/时，就是cos2a=cos(a+a)=cosacosa÷sinasina=cos2a-sin2a,即二倍角的余弦公式cos2=cos2a-sin2a.(1.6)如果我们利用公式sin2a+cos2a=l,经过变形可得：cos2a=cos2a-sin2a=cos2a(1-cos2a)=2cos2a-1cos2a=cos2a-sin2a=(1-sin2a)-sin2a=1-2sin2a因此，cos2a还可以变形为下述表达形式：cos2a=2cos2a-1(1.7)cos2a=1-2sin2a(1.8)这些公式在三角函数的运算过程中发挥了重要的作用。知识巩固例6已知COSa=-”且a(X,r,求sin2a与cos2a.13(2J解由于a第二象限角，知Sina=Jl-CosZ120利用公式(1.5)可得sin2a=2sinacosa=169119利用公式(1.7)可得cos2a=2cos2a-l=169例7已知COSa=且。是锐角，求sin与cos.522Ca解由公式(1.7),Wcosa=2cos12Ct又由于。是锐角，知上也是锐角,2十口a于是COS二2再利用公式sin2a+cos2a=l,可得呜=不呜邛.、，Xi.545兀、/.545TT.例8计算：(sin+cos)(smcos)12121212解根据平方差公式与公式（1-6）原式=Sin&-cos；125 5 S= -cos=一12练习1.1.31 .计算下列各式(1) sinl5acosl5(2)l-2sin2750.(3)2cos2-l'，62 .化简下列各式,41-COStt(1) cos*-sin*IW一Sa课后练习习题A1.填空(1)cos(«+)=4(2) cos(+)=(3) cos(a+7)-=cos()cos()sin()sin()(4) cos(a+yff)-(a-£)=cos<)cos()sin()sin()2 .计算COSlo5°、sin135°.3 .l-2sin275°=.371714 .已知Sina=，是第四象限角，求cos(+)、sin(a).5 443Jl5.已知Sina=工，cr(,")，求sin2,cos2.52习题B1 计算CoS72°COSl2°+sin72°sin12°.2 .计算cos8Oocos550÷cos100cos35°的值.3 .计算cosC-sh/2的值为883Cl(I4 .已知Sina=2且a是锐角，求Sin上与cos上.5 22*5.设.(0,马,若CoSa=3,求VcosQ-马的值.2541.2正弦型函数1.2.1 正弦型函数的概念与性质问题在实际问题中，很多运动的规律是用形如y=Asin(g+O)(A>0,3>0)的函数表示，这类函数被称为正弦型函数.那么它与正弦函数y=sinx有怎样的联系呢？新知识在三角函数那一章中我们已经知道，正弦函数y=sinx的定义域为R,值域为-1,1。由此我们容易看出：正弦型函数y=Asin(3%+0)的定义域为R,值域为-A,A°那么，正弦型函数是否和正弦函数一样，也具有周期性呢？我们不妨用Z来代换较为更杂的QX+0,这样y=Asn(x+)=AsinZ由于y=sinx的最小正周期T=2.=Asinz=ASin(Z+2)于是y=Asin(s+0)=ASinKGX+。)+2乃=Asin(x+-)+2力ASin(S+¢)=Asinfy(x+)+。这说明函数y=Asin(s+4)的周期T二生想一想为什么由ASin(S+¢)=Asin(x-)+可以得到函数y=Anx-)的周期T=?总结这里将3A÷0换为Z,就将正弦型函数与我们熟知的正弦函数联系起来了，便于我们探究正弦型函数的性质。这种方法在数学中被称为换元法，它是一种重要的数学方法。知识巩固例1求正弦型函数y=sin(x+T)和y=3sing+)的周期.解根据正弦型函数的周期公式T=至函数y=sin(x+3-)的周期T=1函数y=3sin(g+)的周期T二牛二4;T2新知识我们知道，对正弦函数y=sinx,当x=2Z"+2(2Z)时，y取最大值1：当37Tx=2攵乃+j-(AZ)时，y取最小值-1。下面，对于正弦型函数y=Asin(3+。)(A>0,>O),我们利用换元法来探讨当X取何值IMy取到最大值与最小值。令Z=S+。，这样y=Asin(Gx+0)=ASinZ当z=2Ur+工(kZ),即尤二生二+2(AwZ)时，y取最大值A；当22z=2k)+红(ZWZ)时，即X=2"'-"+迎(ZeZ)时,y取最小值-A。22知识巩固例2求函数y=3sin(2x+y)的最大值与最小值，并指出X为何值时函数取得最值解函数y=3sin(2x+?)的最大值与最小值分别为3与-3当2x+=2Z乃+3,仅wZ),即X=%乃+二时，函数y=3sin(2x+±)取最大值332123TT347乃71当2x+-=2br+,Z),即x=%r+时，函数y=3sin(2x+-)取最小值-332123练习1.2.11 .求正弦型函数y=sin(x-1)和y=3sin的周期.2 .求函数y=13sin(4x+1)的周期，并指出X为何值时函数取得最大值和最小值。1.2.2正弦型函数的图像实例借助图像，我们可以更加直观地研窕三角函数。研究正弦函数y=sinx的图像时，我们介绍过“五点法”作图，选取(0,0)§l)p,0)吟,0)<2p,0)作为五个特殊点。这里，我们仍用“五点法”作出正弦型函数的图像。我们以函数y=sin(2x+y)为例，分为三个步骤作出它在一个周期内的简图。第一步：列出一个周期内五个特殊的点在函数y=sin(2x+C)中刃=2,因此周期T=p。令=2x+巴=0,f3w3222,下面我们找出一个周期内五个特殊的点。对应X的值与函数y的值，见表
