线代试卷和习题考点_线代考点（第五章）.docx

老样子，先看PPt,再来看这份文件一、PPt的重要内容(选择题的话考第三点，大题的话考第二点)1.特征值与特征向量的计算因为Ax=Ax。Ax=AIx>(A-I)x=O已知XO9所以齐次线性方程组有非零解.A-l=02.求特征值、特征向量的方法：(1) a-i=q求出九即为特征值；特征值就是特征方程的根.(2) Ax=Ax=>(<A-l)x=O把得到的特征值砧入上式，求齐次线性方程组(4-入/)*=O的非零解工即为所求特征向量.3.性质2若/的特征值是,X是/的对应于的特征向量,：(1)版的特征值是左右伏是任意常数)(2)/力的特征值是；r；(z是正整数)(3)若/可逆则4-1的特征值是Qi,d的特征值是月仍然是矩阵kA,Atn,A-,A*分别对应于k,m,1,iA的特征向量.(4)/(K)为1的多项式，财的特征值为/(%).(5)IAI=>1A,2,.A,n二、对角化首先是定义，粗略看一下就好。问题1：何为矩阵的对角化？对阶方阵4如果可以找到可逆矩阵P,使得P-1AP=A为对角阵,就称为把方阵/对角化.接下来的定理是做题的基础。这样看可能不是能懂，直接上题感受一下吧。P.165定理阶矩阵力和对角阵相似(即力可对角化)的充要条件是Z有n个线性无关的特征向量.P.168推论如果4有个不同的特征值，则力与对角阵相似，即/必可对角化.注当4的特征方程有重根时，就不一定能对角化,4601I例设N=-3-50,问N能否对角化？若能对角化，、-3-6Iy求出可逆矩阵P使得户以尸为对角阵.4-60解A-E=3-5-20=(4T)2(>L+2)=0-3-6I-A所以4=4=1,4=-2.当4=4=1时，齐次线性方程组为（/-）=o0、0 120)OOO得Xl=一2巧、。00J-2仅得基础解系R=1,2=0ljI1因为6-3-3-2 O -11 O 16-3-60、03>rI 01、 1 T得基础解系P3 = l ° oJ0,所以PIR2，必线性无关，/可以对角化当4=-2时，齐次线性方程组为（/+2l）x=0O O、1 O 2O11(-2O令尸=(P1，P2，P3)=10O1注：中间方块的东西是“”符号，答案直接写出行最简形。这种题如果有出，一般放在最后一道大题，不是很难，步骤都是固定的，就是计算比较繁杂。从这里也可以看出，行初等变换这个一定要熟练掌握，基本所有题都会有的。L设4阶方阵A的4个特征值为3,1,1,2,则M=6。2 .阶方阵A与对角阵相似的充要条件是D.（八）A是实对称阵；（B）A有个互异特征值；（OA的特征向量两两正交.（D）A有个线性无关的特征向量;3 .若4=2为可逆阵A的特征值，则（LA2Y的一个特征值为3.U）4460、4 .设4=-3-50,问A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P,、-3-6使得PAP为对角阵.00 =-(-1)2( + 2),1-24-26解：由A-4E=-3-5-A-3-6得全部特征值为：i=1=ti=-2,将4二%=1代入（A-/IE）；V=O得方程组3xl+6x2=0（-2、,对0 6分*-3xl-6x2=0解之得基础解系=13x6%2=010,-2由于/阕=1 0同理将4二一2代入缶一；IE）X=O得方程组的基础解系刍=（Til），7分0-I010,所以U2&线性无关，所以A能对角化11<-2令 P=(O44)= 1O -PO 1(则有：P1 AP= OO O、1 O。2,10分附加题：关于正交矩阵这个，历届的试题我只见过这样子的题目，所以可以直接把答案记下来，如果碰到了就直接写答案吧。设A是n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是(B)(A) A,=Ar;(B)A的行列式等于1(C) A的行向量都是单位向量且两两正交；(D) A的列向量都是单位向量且两两正交.小结：关于第五章，基本上会考的内容和题型就是我上面给的那些了，那些题如果会做了，考试就没问题了。其他的不用看了。第六章的也不用看了，不会考的。考试前把所有的题目都过一遍吧，在脑海里有个印象，知道怎么做，一般是没问题的。我相信你们老师不会太为难你们，所以回归基础是最重要的。行列式的性质、矩阵的乘法运算、秩的求法、求解线性方程组、特征值的求法。基本上考试就考这些了。加油咯