非对称韦达定理常用处理技巧.docx
非对称韦达定理常用处理技巧知识与方法将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去y,得到关键方程(设方程的两根为X和9)，在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了x1-2x2,2+3x2等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住+z和内的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过末节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题1.()如下图所示，椭圆有两个顶点A(T0),8(1,0),过其焦点尸(U)的直线/与椭圆交于C、D两点,并与K轴交于点P,直线/。与5。交于点。.(1)当ICQI=手时，求直线/的方程；(2)当P点异于/、8两点时，证明:OP-OQ为定值.【解析】(1)由题意，椭圆的短半轴长力=1,半焦距。=1,故长半轴长=,所以椭圆的方程为卜d=l,当Ieq=当时，易得直线/不与X轴垂直,故可设/的方程为y="+ly=kx+设Ca,另)，O(x,),联立，y2消去y整理得：(公+2)9+26-1=0-+x=判别式A = 8( + l)>0,由韦达定理，、2kG=一=V2=-7r-rK十/砂L乎'解得=±L所以直线的方程为公+2故ICa=JI+A?也一到=41+/.y=±2x+1.其方程为"告T(Kl)'(2)解法1：直线/C的斜率为心C="-，ACX1+1直线BO的斜率为仁BDy2(I),用式除以式整理得：二=要+?,即"三=邛RXTy(1)XQ-Iy("i)而)2(xI+1)_(3+I)(XI+1)_如工2+收2+K+1,所以,+1=Gy2+京2+X+1,由知y1(x2-1)(br1+l)(x2-1)kxlx2-Ax1+x2+1XQ-Ikxx2-kxi+x2+2k1公+22+1-一+人-3"+1(I)(I)+(i-才。+1_A?+22公+22_公+2')-XQT _J k2 + 2Ix2j+x2 + 1仕一2)(Z+1)nn+lk3xl - 6 - x1x2 + 2x2''!.'I;消去V整理得：(1 + 3卜2一64.+3公_3 = 0,易得判别式>(),+2÷(+1)y2解得：XQ=-k,易得故OPOQ=XPXQ=(-k)=T,即OPOQ为定值1.k解法2：直线ZC的斜率为以C=上，其方程为y=(x+l)x1÷1x1+1直线8。的斜率为即。=上一，其方程为y=上(X-I)，x2-12-1用式除以式整理得：=J2jA,+1,即W=J夕+?XT乂(一1)1%(七一1)所以÷Y=o+i)2=2(1-W)&+y=(i+2)(m+i)=XlX2+)+=一公+21+2+1=(XqT,y12(x,-1)22(l-x12)(x,-I)2(l-x)(l-x2)xx2-(xi+x2)÷1t1I"+Jk2+22+2因为AW(T1),所以9<o,结合可得上上与互异号,一%一yl又 Xy2 =(Ax1 +1)(x2 +) = k2xix2 +Ar(x1 ÷ x2) +1 =-k2k2+22k2 2-2k2+ 1 =-2+2k2+22(1+2)(1-&)=_2(1+犷k-/+2-k2+2T+1所以凶力与幺。异号，即"与史异号，从而"二与"1同号，所以M=IZ1，,2k+1y1k+1XQ-Ik+XQ-Ik+l解得：XQ=-k,易得故OPOQ=4=：(Q=I,即OPOQ为定值L【反思】本题的解法1是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强.X = I K,，可X2 ÷ 3 J2 =3【解析】(1)椭圆C的方程可化为总+丁=1,故其长半轴长=L短半轴Kb二I半焦距C=CS所以椭圆C的离心率e*半(2)解法1：若48垂直于X轴，如图1,直线/4的方程为x=l,联立解得：y=±-,3,设M(3,%),因为A、E、M三点共线，所以心£=心”，故6.上卡-,v_6%+干工二S,解得：%=2-空，所以直线的斜率做“=2_=11232331若小,用,则闻1,因为A、E、M三点共线，所以砥£二w，故-T-11-23-26Ja%一""解得：)'。二竿+2,所以直线的斜率即M=下T-=I综上所述，直线A必的斜率为L解法2：因为过点Q(LO)且垂直于X轴，所以可设A(LyJ,B(l,-y,)直线NE的方程为y-l=(l-y)(x-2),令x=3得：y=2-ylt所以M(3,2-y),故直线BM的斜率kM=2f+>l=1.ftf3-1解法3：因为4B过点0(1,0)且垂直于X轴，故其方程为1=1,如图1,设直线x=2交X轴于点G,直线x=3交X轴于点H,则埋=熠=1EMGH所以E为4”中点，由对称性，显然。为48中点，所以DEBM而直线OE的斜率即E=H=1,所以直线SM的斜率为L(3)解法1：当AB_LX轴时，由(2)可得直线BM的斜率为1,等于直线。石的斜率，所以£)七次必，当48不与*轴垂直时,设其方程为丫=%(工-1)(±1),设4(%方),fi(x2,y2),则直线花的方程为y-l=生N("2),令x=3解得：),=1+2l±1,所以M3,1+%-2xl-2V从而直线的斜率l+2l-vzxzx1-2_x1-3-x1y2+yl+2y2_x-3-xik(x1-1)+(1-1)+2(x2-1)(3-x2)(x1 -2)3-X2(3-x2)(x1-2)联立_xi-3-kxix2+2k(xl+x2)-3A:_x1-3+2(x1+x2)-xlx2J-3Z:所以X + Wk21 + 3公32-3 + 3k2故 2（X +x2）-x1 X22k2 + 3k23k2-3 9k2+31 + 32 1 + 32代入式得：”"-3+3左-3攵二,即直线与直线OE斜率相等，所以DEBMxi-6+3综上所述，直线8M与直线OE平行.解法2：当AeJ_)，轴时,若力为左顶点,如图2,则屿=2+J,口4=M)=2+LIEMlBD3-l所以照=埋!，同理可得当力为右顶点时，图=四=2.6也有。七WEMBDEMBD当48不与y轴垂直时，如图3,设其方程为x=ny+l(mw1),设A(%,yJ,3伍，必)四=国=_2Lbd j2 %ElA同则j=2-X=2_加弘_1=1一机y，兽=吗=JlL=1+正登全IfMlBD"%.V2联立冲消去X整理得：（加+3）/+2%,-2=0,易得判别式（）,lx-+Jy-=J由韦达定理，y1+y2=一一洛，yly2=一一J，故机乂%=y+%m'+3m+3代入式可得鸟例=1+-a=+'IiJ=oIEMlI即J2%所以Pq一吗，从而debmEMBD综上所述，直线与直线QE平行.图I图2图3强化训练1. ()已知椭圆C:£=l(a>b>0)过点尸(2,2),且离心率为当.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上、下顶点分别为力、B,过点P(0,4)斜率为的直线与椭圆。交于、N两点.求证：直线BW与4N的交点G在定直线上.2. ()己知尸为椭圆=1的右焦点，/、8分别为其左、右顶点，过尸作直线/交椭圆于不43与4、8重合的M、N两点.(1)当/斜率为1时，求四边形AM8N的面积S；(2)设直线/、8N的斜率分别为勺和22，求证：4为定值.*23. ()22点AB是椭圆E:?+=l的左右顶点若直线/：丁=以X-1)与椭圆£交于“，N两点,求证：直线力与直线3N的交点在一条定直线上.4. ()22设椭圆C:W+4=1(。人0)的左焦点为凡过点F的直线与椭圆C相交于48两点,ab直线I的倾斜角为60。,AF=2FB(I)求椭圆C的离心率；（三）如果A8=",求椭圆C的方程.4 ()己知4、4分别是离心率e =也的椭圆七：二+4 = 1(。人0)的左右项点，P是椭圆 2a- b2E的上顶点，且RAIR%=-1.(1)求椭圆E的方程；(2)若动直线/过点(0,-4),且与椭圆E交于4 8两点，点M与点8关于y轴对称，求证：直线AW恒过定点.参考答案1【解析】（1）由题意,_4 +2_ = 1=二厂，解得:yJa2-b2 2a VJa = 2 2 b = 2故椭圆。的方程为 + = 184(2)由题意，直线朋N的方程为y=爪+4,A(0,2),8(0,-2),设M(M,y),/V(x2,y2),y=kx+4联立fy2消去歹整理得：(1÷22)x2+16+24=0,T+T-判另IJ式A=(16%2)-4(l+2如)x24>0,2.【解析】(1)由题意，(-2,0),8(2,0),尸(1,0),当/斜率为1时，其方程为y=x-l设M(XQJ，N(x2M所以一半或人日由韦达定理'16k GX1 +X2 =7 1 + 2公24直线的方程为y + 2 =空工x,直线4N的方程为y-2 = "二X,X?联立y + 2= v' +2*c消去X可得:y-2 =x-V2j + 2 (yl+2)x2 y-2 (%-2)x从而%+ 2 _（3 + 2）代（4+ 6）%-H/? + 6%）,g-2 （%-2）占（5+2） kxlx2+2x1接下来给出以下两种计算非对称结构衿士丝的方法: KX1X2 + 2x13法1：由知AXIW=+9），3/39 kx r +6x -(x +x2)÷6x2 -x +-2代入式得：5'+F =V= _2_> =-3kxix2 + 2,r1-(xl +x2) + 21 -xl-x2从而互电=_3,解得：yc=l,所以点G在定直线y = l上. 九一2法2：由知百=-苦y1 1 NAC代入式得:24A依径+6占= 1 + 2/+% kxix2+ 2x124%(6k1 + 2/ + 1- 1+2&224A JE+6/-T72F2x2从而 U三二-3,解得：坨=1,所以点G在定直线），=1上.九一 2y=X-I联立(2y2,消去X整理得：7y2+6y-9=0,判别式A=6?-47x(-9)=288>0143所以四边形41*的面积S=gA5)L%|=；x4x二竺,X = my +1 联立Ix2 y2+ = 43(2)显然直线/不与y轴垂直，故可设其方程为X=冲+1,I消去X整理得：(3+4)y2+611)，一9=0,易得判别式4>0,由韦
