2022届一模分类汇编-导数、解析几何、圆锥曲线专题练习（解析版）.docx

目录导教21导教大题2斛析几何151支线与Si152捕BJ,抛物线，双曲线基础163解析琮合小题204HJ般曲为大题21导教1导救大典1. (202204东城一模19)已知函数/(X)=三.(I)若曲线y=f(x)在点(2J(2)处的切线斜率为-1,求的值；(II)若/(x)在(L+oo)上有最大值，求的取值范围.【答案】解：(I)函数义功的定义域为(-oo,-l)U(Tj)U(I，”)tty.,.X-Cizart,.-x2+Iax1由/(x)=F得f,M=；L.jX2-I(X2-I)2则八2)=-L解得。=一15分(II)fx)=X.令g(x)=-X2+2-l(x>l),(XT)当0时，2a0,因此9(©=-公+2奴-10恒成立,所以八幻=十2<0,所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当O<l时，gCr)=*+20r-l<g0恒成立，所以.(X)=T212T<o.(X-1)所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当G>l时，方程-X2+A-I=O的两个根为xi=a-tJa2-1,x2=a+Ja2-1.由>l得0<<1,且l<<w当x(l,+)时有X(1.&)X2(#2,+8)r3)+O-/()/极大值X函数(x)在X=+夜-1处取得最大值.综上，。的取值范围为(1,+8)15分2. (202204西城一模20)已知函数/(x)=*-l,a0.ex+a(I)当=l时，求曲线y=(x)在x=0处的切线方程；求证：，(幻在(0,+)上有唯极大值点；(Il)若/(x)没有零点，求。的取值范围.【答案】解：(I)若=l,则Szt,H.在X=O处，q>l,/(O)=-I.所以曲线在i=j=2处的切线方程为yr-=-'(+当L4K+1k4k+1三一-4。j*'令g(x)=ev+1-xex,m,在区间(O,+oo)上，a、=-一,则g()在区间(O,E)上是减函数.又g(l)=l>O,g(2)=-e2+l<0,所以g(x)在(0,w)上有唯一零点n>2.r)与/(X)的情况如下：X(0,M)X。(,+)f,()+0/()极大值所以/(x)在(0,+)上有唯一极大值点%9分(II)fM=axeae+令h(x)=ex+aax,则,(x)=qxa.若"v,则"(x)>0,z(x)在R上是增函数.因为+(1)=e>0,所以h(x)恰有一个零点.令e"+a=O,得=ln(-.代入力(Xo)=0,-a+a-an(-a)=O,解得=-l.所以当。=一1时，力。)的唯一零点为0,此时/(x)无零点，符合题意.若>0,此时/(x)的定义域为R.当XVlna时，"(x)v,力(X)在区间(-,Ina)上是减函数：当X>In时，/(x)>O,(x)在区间(Ina,+)上是增函数.所以h(x)min=(Ina)=2a-ana.又A(O)=l+iz>O,由题意，当2z-ln4>0,即OVaVe?时，/(x)无零点，符合题意.综上，。的取值范围是一lU(O,e?).15分3. (202203海淀一模19)已知函数/(x)=e*(0?-x+l).(I)求曲线y=f(x)在点(OJ(O)处的切线的方程；(II)若函数/Cr)在x=0处取得极大值，求”的取值范围；(III)若函数/Cr)存在最小值，直接写出。的取值范围.【答案】解：(I)因为/。)=(加7+1把',所以7(0)=l,(x)=x(ax+2a-l)ex,所以r(0)=0,所以切线为：y=.(II),(x)=(ox+20-l)ev.(1)当=0时，f,(x)=-xex,令r(x)=0,得X=0,/U)与r(x)的情况如下：X(一8,0)0(0,+)f,+0f()/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；(2)当>0时，令r()=0,Wx=O,或X=,-2.当OVaV)时,L-2>0J(x)与广(力的情况如下:2aX(-,0)0(*-2)1-2af,+00+fWZ/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；当a=时，1-2=0,/'(x)0,/(x)单调递增，无极大值，不符合题意;2a当>)时,，一2VOj(X)与/'(X)的情况如下：2aXSATi-2O")0(0,+8)M+00+f/X/此时，/(x)在X=O处取得极小值，不符合题意;(3)当<0时，l-2<0./(x)与/'(X)的情况如下:Xf-2)1一一2aG-2，。)O(0,+8)f,MO+Of/X此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意.综上,(III).4. (202203朝阳一模19)己知/(x)=x-ae*,R.(I)若曲线y=f(x)在点(IJ)处的切线与4轴重合，求。的值；(II)若函数/(x)在区间(1,微)上存在极值，求的取值范围；(III)设g(x)=f(2-x),在（三）的条件下,试判断函数g(x)在区间(l,+)上的单调性，并说明理由.【答案】解：(I),(x)=l-fle,因为曲线y=/(x)在点(IJ)处的切线与X轴重合，所以广=1g=0.所以经检验符合题意.4分e(II)当心0时，f,(x)=-flex+1>O,函数/(x)在区间(Yo,”)上单调递增，所以在区间(LE)上无极值.所以小0不合题意.当>0时，令f'(x)=-"e'+1=0,解得X=Ina当x<ln时，,(x)>0,函数/(x)在区间(-co,InL)上单调递增；aa当x>ln,时，f(x)<O,函数/(X)在区间(InL+)上单调递减.aa所以当X=Inl时，函数/(x)取得极大值.令ln'>l,解得0<avJ.ae所以"的取值范围是(0-).10分e(III)由题可知，g(x)=f(2-x)=2-x-ae2x,OVaVLe则g'(x)=e2-*-l令g'(x)=O,即优2-'-1=0,解得x=2+ln4.因为O<<J,则Ina<-1,所以2+lnvl.当XW(L+oo),g'(x)v,所以函数g(x)在区间(1,+)上单调递减.15分5. (202203丰台一模20)已知函数O(X)=X-x.(I)当=1时，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(II)若函数g(x)=(x)-亍恰有两个不同的零点，求。的取值范围.【答案】解：(I)当时，=11(i),所以广(工)=2-3x令;(X)=1,解得X=0.因为/(0)=0,所以切点坐标为(0,0).故切线方程为y=x.5分(II)因为g(x)=xja-x一g(x),所以g'(x) =2a-3x2>a-x令/(x)=0,解得X=三.3当W时，由XWa,得2-3x2-420,所以g'(x)20,则g(x)在定义域(-,上是增函数.故g*)至多有一个零点，不合题意，舍去.当0>0时，随X变化g'(x)和g(x)的变化情况如下表:X(-8号)2aT(pa)a()+0一g(%)单调递增1j3afa-609单调递减2aT故g(x)在区间(9,手)上单调递增，在区间(手,幻上单调递减，当x=g时，g(x)取得最大值g(g)=若0<W3时，g仔)=2J(f此时g()至多有一个零点;若>3时，g(争>0，又g(O)=g()=一彳<0,由零点存在性定理可得g(x)在区间(0,手)和区间(IM)上各有一个零点，所以函数g(X)恰有两个不同的零点，符合题意.综上所述，4的取值范围是(3,+oo).15分6. (202203石景山一模19)设函数/(x)=V+勿Hn(X+1)。力R).(1)若"Z=-I,(i)求曲线/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(ii)当X(l,+8)时,求证：f(x)<X3.(II)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.【答案】解：(I)m=-,所以f(x)=f-ln(x+l)(i)f,(x)=2x,k=f(0)=-.x+1又/(0)=0,所以/(x)在(0,/(0)点处的切线方程为y=r4分(ii)令/(X)=f(x)-x3=炉-In(X+1)-3,w=2-L-3=-3-+2%-!=,x+1x+1x+1X(l,+8)时，F,(x)<0,/(X)在(1,+8)上单调递减，所以产(X)VF(D=-ln2v,所以当xe(l,+8)时，f(x)<X3.10分(11)/()=x2+mln(x+l),F(X)的定义域为(T,+8),fx)=2x+-=2v+2x+m=0,即2f+2x+m=0.,÷l+l当4-8m0即时，f(x)>O,/(幻在(一1,+)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当4一8机>O即?<；时2f+2x+m=O有两根xitx2(xx<x2)；2×(1)"+2×(-l)+w>OBPO<<1>X.(1,),X0(,0)»222此时/(x)在(苍，+8)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当m=0时f(x)=x2,此时/(x)在(0,1)上无零点,不合题意；当m<0时(x>,-l),X,(0,+oo),此时/(x)在(0,工2)上单调递减，在($，+Oo)上单调递增，/(0)=0，所以2)<o,/a)在区间(0,1)上存在唯一零点，即/>o即可.解得?>一二-.In2综上，若/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，则加£(-一，0)15分In27. (202203门头沟一模19)已知/(x)=ksinx+2x.(I)当A=2时，判断函数/(x)零点的个数;(II)求证：-sin%+2x>ln(x+1)(x(0,);2(In)若/(x)>In(X+1)在Xe(0,今恒成立,求人的最小值.【答案】解：(I)当2=2时，,(x)=2cosx+20,f(x)=2sinx+2x单调递增，/(0)=0,/(x)只有一个零点X=0；(II)设g(x)=2X-SinX-In(X+1)ng，(X)=2-cos%!>0ng(x)增，x÷lg(x)>g(O)=O.(III)解法一：当时，由(II)-sinx+2x>ln(x+l),恒成立.当<1时，设h(x)=f(x)-In(X+1)n,(x)=2+kcosxn*(x)=-k