专题1-9数列性质的综合运用17类题型.docx
专题1-9数列性质的综合运用17类题型近2年考情考题示例考点分析关联考点2023年新2卷，第8题基本量的计算等差数列片段和相关计算2023新高考1卷，第7题等差数列前项和性质的判断等差数列前项和解析式特征2023年全国乙卷理数，15题等比数列基本量计算构造方程组求等比数列首项和公比2023年全国甲卷理数，5题等比数列前项和的基本量计算构造方程求基本量2023新高考1卷，第20题已知等差数列的和求公差等差中项与前项和的计算Kei题型.解读知识点梳理模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和【题型2】等差数列片段和【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算【题型5】等差数列奇偶项和相关运算题型6等差数列前n项和的单调性与最值【题型7】等差数列性质判断与综合运用题型8等比数列及其前n项和的基本量计算模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算【题型10等比数列的基本性质【题型11等比数列片段和【题型12等比中项的运用【题型13等比数列性质判断与综合运用【题型14等差数列与等比数列混合计算求值模块三其它综合问题【题型15】周期数列【题型16】数列中的最值问题【题型17数列新定义问题此鼠满分熨57知识点梳理一、基本量计算方法4，d,称为等差数列的三个基本量，4和S都可以用这三个基本量来表示，五个量4,d,，%S中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前，项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运笄的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.二、等差数列重要性质若数列4是等差数列，公差是4则等差数列a,J有如下性质：当d>0时,名是递增数列；当次0时，。是递减数列;当d=0时，4是常数列.(2)%=%+(1?-z7三iV,nni).(3型口=出,tleN且nni).m-n(4)若m+，=p+«m,n,p,gN),则备+&=%+%.特别地，若m+=2成山，n,PeN),则%+4=2%.三、求等差数列前项和S“最值的方法¾0,pzrO,寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或“来寻找.r11ok÷B0运用二次函数的图象求最值.四、等差数列奇偶项问题若等差数列的项数为2，则&=U+%+),SLSnd,I=殳2S*4若等差数列的项数为2+l,0'1t+i=(2z7+1)+1,S*-S号=一。e，=S*+1五、等差数列前n项和的性质若数列4是公差为d的等差数列，£为其前项和，则数列I才也是等差数列，且公差为,若工，%量分别为等差数列4的前m项、前2m项、前3m项的和，则黑S1-Smf第-S。也成等差数列，公差为Md(3)设两个等差数列4,"的前力项和分别为£,Tnt则生=E口.7L-)六、等比数列的性质(1)若加+"=p+g("?,n,p,夕M),则4/4=。研；若加+=2k(?，左N*),则次=而a”.(2)若数列%是等比数列，则%,欣,H仍为等比数列.七、等比数列的前n项和性质1 .在等比数列“”的五个量.，q,a”,加工中，力与夕是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用内与夕表示。”与S”，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2 .等比数列前项和的常用性质：(1)若共有2项,则SiSi5=g.(2)“片断和”性质：等比数列小中，公比为4,前M项和为SMSmW0),则Sm,S2m-SmfS3m-S2m,-,S%lS(l构成公比为的等比数列.BeI核心题型模块一等差数列【题型1等差中项与前n项和1 .在等差数列qr中，/+%+2q°=4,则此数列的前13项的和等于()A.13B.26C.8D.162【解答】解：在等差数列”中若加+=k+/,则/+q,=4+q,因为+牝+2%=4,所以+%+2i0=2(a4+i0)=2(%+alj)=4,所以+3=2.所以SL生等213.2 .已知公差不为0的等差数列q满足a；+：=。；+。：，则又=0.【答案】0【解答】解：根据题意，设等差数列q的公差为d,又由a；+d=a；+。；，则有a；a；+a；a：=0,变形可得(a8-%)(%+a5)+(tz7-a6)(a7+a6)=0,即3c(as+a5)+c(a7+a6)=4c(a7+a6)=0,因为d0,则的+%=0,由等差数列的性质得4(%+al2)=0,即/+a2=0,所以S12=03 .两个等差数列/,"的前项和分别为SI和7；,已知a=乂望，求学的值.Tn+3b5Sn7+2【解答】两个等差数列,“的前项和分别为S“和北，满足IL=-y,9(4+%)as_2_59_7x9+2_659(+¼)9+3-12,24 .已知等差数列4和也的前项和分别为S.,Tnt若L=F,则W=()IJrM+4D4+D+DgD.1337【答案】C【详解】由等差数列的性质可得:ay+a9 2a2ao Sn= >+ 3。3 bfl, Tn 忆/7 + 23+411 + 2133×ll + 4 -37,1331 ,%+%=2%=2!l=也+3337Ill2023新高考1卷一基本量计算：利用等差中项简化计算5 .设等差数列q的公差为"，且dl.令bn=T,记邑,7；分别为数列凡,4的前项和.(1)若3%=3%+a3,S3+T3=21,求”的通项公式；(2)若他为等差数列,且S99-4=99,求d.【答案】(1)。“二3，(2)d=2【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可:(2)由也,为等差数列得出6=d或q=2,再由等差数列的性质可得，-%=1,分类讨论即可得解.【详解】(1)3°2=34+%,3d=q+2",解得=d,.*.S3=3%=3(4+d)=6d,rLL126129又4=A+a+4=7+77+77=77.aZcl5aa9.S3+q=6d+7=2i,即2"2-7d+3=0,解得"=3或4=；(舍去),/.an=ai+(n-)d=3n,(2)色为等差数列，12212.2A=4+4,即=+.'%q%6(-)=-=-,Fpa2-3ald+2d2=0,解得q=d或q=2t,%。3a2a3a1：d>,'an>0,又S99-q=99,由等差数列性质知，996一99%=99,即须一砥=1,«50=1,即确一心-2550=0,解得牝o=51或外。=-50(舍去)a505150 ,当4=2/时，牝o=q+49d=5k=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解；当q=d时，%o=q+49d=5Od=51,解得"磊.综上，d【题型2】等差数列片段和2023新高考2卷T86 .记S“为等比数列q,的前项和，若SlSS6=21S2,则£=().A. 120B. 85C. -85D. -120【答案】C【分析】方法一：基本量计算根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据Ssjt的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解.【详解】方法一：设等比数列g的公比为夕，首项为4,若q=-l,则S4=0h-5,与题意不符，所以夕工一1；若夕=1,则$6=6q=3X2q=3S20,与题意不符，所以夕工1；由0=-5,5=2电可得，14)7,±*)=214（三）,-q-q-q由可得，1+夕2+/=21,解得：/=4,所以5=g(l-g)=3(1二)(+/)=-5x(1+16)=-85.方法二：利用片段和性质计算设等比数列,的公比为夕，因为Sl=-5,S6=21S2,所以qwT,否则S4=O,从而，52,S4S2,56-54,Ss-Sfj成等比数列，所以有，(一5-52)2=$2(2电+5),解得：52=-1或52=：,当S?=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即为一】,-4,-16,58+21,易知，S8+21=-64,即Si=-85；当S?=时，54=al+a2+a3+a4=(1+«2)(1+2)=(1+2)。，与S4=T矛盾，舍去.7 .(2023广东深圳二模)设等差数列4的前项和为S”，若与=20,520=10,则S3。=()A.0B.-10C.-30D.-40【答案】C【解析】由等差数列%的前项和的性质可得：So,EO-SsS30-Wo也成等差数列，2(SM-SS)=S10+(S30-S20),.2×(1O-2O)=2O+Sjo-1O,解得S30=-30.2024届江苏连云港&、南通质量调研(一)8 .设等差数列凡的前项和为S1,已知&=5,%=T5,+2+-+a2*=-45,其中正整数2,则该数列的首项4为()A.-5B.0C.3D.5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可.【详解】ak+i+jt+2+2jt=-45,又&=4+0+%=5,两式相减得：kd+kd+kd=Fd=-50,%M=%+Rd=-50=-45,解得：q=5.2020年全国H卷(理)一等差数列片段和9 .北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【详解】设第环天石心块数为。“，第一层共有环，则为是以9为首项，9为公差的等差数列，=9+(-1)×9=9w,设S”为凡的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分跄为SqS-qS?”,因为下层比中层多729块，所以SLS2”=S2S”+729,n3w(9+27)2w(9+18w)2w(9+18w)(9+9)印=F7292222即92=729,解得=9.所以S相叶型二3402.【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算10 .已知等差数列为的前项和为S。，S4=40,Sw=210,SI=I30,则等于()A.12B.14C.16D.18【答案】14【解答】解：由题意可得Sr-Sl=210-130=80,.4(q+q)=S4+S“-Sl=40+80=120,.S=15?=210,解得=14211 .在等差数列qj中，公差d>0,a1+6=14,a2a5
