数列知识点提纲1.docx
数列复习提纲1.数列的概念(1)按叫数列。在函数意义下,数列是,(2)如果数列%的第项。”与"之间的函数关系可以用一个公式%=/()来表示，这个公式就叫做这个数列的O递增数列。an+l递减数列=a.+1常数列Oa什1an.(4)假设S“，那么凡=<2.等差数列(1)假设数列为满足,那么称这个数列为等差数列,这个常数叫等差数列的，记为d;假设d0那么这个数列为递增数列，假设d0那么这个数列为递减数列，假设，/0那么这个数列为常数列.定义法：对于数列4,假设,那么数列/是等差数列。(2)如果三个数X,4,y组成等差数列,那么4叫做X和y的,且A=.等差中项法：对于数列/,假设,那么数列%是等差数列。(3)等差数列为的通项为%=,或%=其中机，eN.推导方法为、(4)zj成等差数列OaZJ=如+)(p,g为常数).其中Z=(5)等差数列的求和公式为:可变形为.推导方法为整理后是关于n的没有常数项的二次函数函数法：%成等差数歹J=a(dw).(6)%为等差数列,求S”的最值:假设>(),dv,且满足'时，S“取最;，假设qVO,d>O,且满足1""'时，Sn取最.anu，对于箜差数列0，假设+m=p+q,那么。(8)假设数列勺是等差数列，S”是其前n项的和，ZN*,那么成等差数S3k歹如下列图所示：.+2+9+.+g+：+2勺+2"1+1.+%勺、SkS2k-skS3k-S2k运算思想：t6+t7+8=2+3+a4+此性质可推导为：(9)设数列M是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S“是前n项的和，那么有如下性质：奇数项%,%，的，成等差数列，公差为2d偶数项。2，4，%，成等差数列，公差为2d若有奇数项2+1项，则S奇=巴士产(n+l)=aw+1.(÷l),c。2+02S偶=-=册+一所以有F奇+S偶=(2"1)%互=；5奇一3偶=S偶若有偶数项2项，则S奇=,S偶=所以有S偶一S奇=(4一4)+(%一6)+(%-4T)=(10)假设等差数列%的前2一1项的和为S2,-,等差数列也)的前2一1项的和为S?”7,那么凡7,今=5)n*=(2-1)即会=2。213½brtS2tl-3.等比数列(1)假设数列%满足那么称这个数列为等比数列,这个常数叫等比数列的记为夕,即&L=().(2)假设“为等比数列,那么通项4”=或%=,其中7,WV(3)等比数列仅“的单调性：%单调递增O或；an单调递减O或;“为常数列<=>.(4)如三个数X,A,y组成等比数列,那么A叫做X和y的,且A2=或A=.a=(5)等比数列仅“中S'二”推导方法为.=,q1(6)对于等比数列/,假设+m="+u,那么a*4，也就是：9%=2%=的q-2=。如下图：%彳2，。3，:，3-2，册-1,，。O2n-l假设数列册是等比数列，S”是其前n项的和且与工一1,kwN",那么，S2k-Sk,Ssjt-Szjt成_入_，-等也数列。如下列图所示：3+2+?+%÷”+g+.+1+1+倒skSzk-SilS3k-S2k(8)运算思想：。6+。7+,和。2+。3+。4的关系是此性质可推导为：练习：1 .数列中，tz15=10,a45=90,假设外是等差数列，那么40=；假设是等比数列，那么4o=；2 .在等差数列%中，假设的+。9+%I+。15+。17=0，那么S2=；2n -1等差数列“的公差为g,且SK)O=I45,那么+%+%+ %9 =3 .两个等差数列，它们的前n项和之比为空口，那么它们的第9项之比为5.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,求此数列的中间项；4 .数列通项公式的求法(1)观察法:观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的关系.注：对一般数列，它的通项公式不一定存在，即使有，也不唯一，必要时可采用分段表示，故观察的角度不同，可能会写出几个形式完全不同的通项公式。(2)数列的前项和求通项时，通常用公式c5=?、。例：数列小的前项和S满足1叫+1)=+1,求此数列的通项公式。例：设数列4满足4+3%+32%+314=?*),求数列“的通项公式注:用公式法求和时要注意验证H=1时的情形。(3)叠加(乘)法:假设数列仅满足%+=册+5)(4a=g5)的递推式，累差迭加(累商迭乘法)an求通项。例：数列m满足勺=LS,？=空处，("N),求知的通项公式。(4J构造新数列：待定系数法=Can+%(c°,那么可以将其改写变形成:例：数列中，6=1,+=24+3,求数列/的通项公式.5 .数列求和常见的方法(1)公式法例：求和=l+ll+lll+3”个错位相减法：=bncf1,也成等差数列,%成等比数列Sn=blcl+b2c2+.+OlC“_+bncn，那么所以有例：假设等比数列”的首项6=1且满足Cln=a"7+""2(=3,4,)求数列3%的前,7项和力(3)裂项相消法求和:4 +C)Q二1二1(14-(An+B)(An+C)C-B-An+B例：求数列1 1 11x32x43x51'n(n + 2)*的前n项和先(4)倒序相加法：如a产Gzo；I；2m又如一知函数/=FaWa求：5,h=(一)÷(一)÷÷(一)通项分解法：an=bn±cn11：a11=2n+3n6 .其他问题:三个数成等差的设法：;四个数成等差的设法：三个数成等比的设法：;四个数成等比的错误设法：aq3,aq,aq,aq3(为什么？)求数列aJ的最大、最小项的方法：(an>O)如 an=9 (/? + 1)10”>0a11+-an=V=O如an=-2n2+29n-3<0an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=-n+156例：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16,第二个与第三个数的和为12,求这四个数。
