数列题型分类归纳———学生版.docx
高考递推数列题型分类归纳1、数列的通项公式与前n项的和的关系易，n=1an(数列/的前n项的和为t=4+%+4.)sn-snn22、等差数列的通项公式%=q+(-Dd=血+q一以wN*)；3、等差数列其前n项和公式为S二幽±4)+("T)d=-n2+(1-)zz.”2122124、等比数列的通项公式%=旦5N*)；q5、等比数列前n项的和公式为VM'X11avq=或Sn修，内-q叫q=l常用数列在不等式证明中的裂项形式:1=I(I一一L)；nn+k)k'nn+11111<T<=；(k+)kk2(k-T)kk-lk11r1111=-；=(+1)(+2)2(+l)5+1)5+2)(?+1)!n(h+1)!2(11+1yfiz)=-21<-Lr<_2=2(ynJn-V)?+/?+1?+n-1"1),5=1)作商法：白臼/=/()求可，用作商法：an=<f()(y例：数列(中，=1,对所有的2都有4="，那么的+牝=作差法：a+g(x)w+g“)%+gn/(x)/=/()求Q",用作差法:an=/(1),H=15)-5-l),乙gn-)例：数列bn满足等式：g+*+*+.+*=3n-l,(nN+),那么数列%的前n项和Sn=类型1向=4+f(n)解法：把原递推公式转化为-凡=/5),利用累加法(逐差相加法)求解。假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。1、数列满足。“+1=%+一，求凡。2、数列a,J中4=1,Jla2k=a2k.1+(-l)*,¾+-aik+3其中kN.(I)求的,。5；(II)求小的通项公式.变式训练1、数列q满足4=q,+2x3"+Lq=3,求数列%的通项公式。类型2=/()为解法：把原递推公式转化为&氏=75),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an91、数列q满足q=W,an+=-»求。J+112、数列。满足=3，an=-an(nl),求凡。3/1+23、数列。“满足=3,an+1=5nan,求类型3an+=pan+q（其中p,q均为常数，（pq（p-I）HO）为解法：1待定系数法)设。向-f=p(%-与原式比拟得，=9,转化为等比数列求解。I-P(变式:/+I=Pa.+/()。解法：只需构造数列物,消去/()带来的差异.)1、数列%中，al=1,an+l=2an+3,求2、数列q满足=1,。用=2%+l("N*).(I)求数列q的通项公式；(II)假设数列瓦满足4AT4"T.4"T=(。”+1卢5小乂.),证明：数列儿是等差数列;变式训练1、数列。中，q=2,/+=3%+g,求通项七2、数列。满足q=1,3%+i+4,7=0,求通项类型4。“+=+9”(其中p,q均为常数，(一l)(g-l)HO)(或向=+均”,其中p,q,r均为常数)解法：在原式两边同除以q向，得：零=22+_1引入辅助数列例(其中a=孑)，得：5H=Ka+'再待定系数法解决。qq1、数列4中,ay=,an+=an+rt+,求见。O522、设数列t的前项的和S“=g。”-gx2向+|,nN,求数列“通项公式；变式训练1、数列&满足%+=2%+43'i,q=l,求数列,的通项公式。2、数列0满足a=l,an=-an-1+2n-',求数列%的通项公式。3、数列“满足a=2,an+1=4an+2n+,求数列q的通项公式。类型5递推公式为rt+2=Pa.+i+夕&(其中P，q均为常数)。s+f-0st=-q解法二：(特征根法)对于由递推公式。"2=P+如，囚=。,生=/给出的数列%，方程X2-PX-<7=O,叫做数列可的特征方程。假设是特征方程的两个根，当内。入2时，数列%的通项为。=AkT+Agi,其中A,B由。=夕,出二/决定即把。|,。2，-，工2和=1，2,代入。=例1+T,得到关于A、B的方程组)；当玉二/时，数列4的通项为%=(A+a?)邸T,其中A,B由4=a,a2=6决定(即把卬百/卜/和=1，？，代入az=(A+B2)x1z,1,得到关于A、B的方程组)。1、数列%满足3%+2-5。M+2M=O5(),"N),且=。,生=b，求数列%的通项公式。22、在数列4中，a=l,2=2,dw+2=-an+i+-ant求勺。3、数列q满足=l,2=3,%+2=3an+l-2atl(nN*).(I)证明：数列。的一。是等比数列；(II)求数列q的通项公式：4、数列凡,q=%=2,4+=4+2,("2)(I)求数列可的通项公式为11Ir(II)当2时,求证:一+<3%a2an变式训练：1、数列“满足a=-La2=2,an+2=5an+1-6an,求数列,J的通项公式。类型6递推公式为S“与凡的关系式。(或S“=/(%)解法：=T与%=S一S,=)-(%)消去S52)S-SN(2)或与Sn=f(Sn-SnT)52)消去进行求解。1、数列,前n项和Sn=4一册一击.求数歹J为的通项公式.1Q2、数列小的前n项和Sn满足Sn-Sn2=3()“T53),且Sl=1,S2=一万,求数列%的通项公式.类型7(1)形如+=。“+的+6(其中k,b是常数，且AWO)方法1：逐项相减法(阶差法)方法2：待定系数法，通过凑配可转化为(%+x+y)=M。”-+M-D+y);解题根本步骤：1、确定5)=kn+b2、设等比数歹IJa=(/+X"+y),公比为P3、列出关系式(+w+y)=M%+工(-1)+y),即bn=PaT4、比拟系数求x,y5、解得数列(勺+m+y)的通项公式6、解得数列4的通项公式
