空间几何体的表面积与体积的讲稿.docx
空间几何体的外表积与体积的讲稿简介：空间立体几何空间几何体的外表积与体积本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式，求常见几何体的外表积与体积.1 .假设球01、02的夕卜表积之比二4,那么它们的半径之比2 .用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么该圆锥筒的体积为.3 .一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm的正方形，那么此三棱柱的体积为cm3.4 .有一根长为5cm,底面半径为1Cnl的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，那么铁丝的最短长度是.【例1】根据以下对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称.(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形.(2) 一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形.(3) 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.(4) 一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.【例2】如下图，半径为R的半圆内的阴影局部以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的外表积(其中∠BAC=30°)及其体积.【例3】如下图，正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的外表积.【例4】(2019·辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA&perp；平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值.1. (2019·福建)三棱锥PABC中,PA&perp；底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形，那么三棱锥PABC的体积等于.2. (2019·全国)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为3. （2019·；上海）假设圆锥的侧面积为2&pi；,底面面积为&pi；,那么该圆锥的体积为.4. （2019·四川）如图，半径为R的球。中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的外表积与该圆柱的侧面积之差是.5. （2019·全国）如图，四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD,AC&perp；BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）假设AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥PABCD的体积.6. （2019·；安徽理）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED⊥平面ACFD,点O在线段AD上,0A=1,0D=2,0AB.0AC.0DE.ZODF都是正三角形.（1）证明：BCEF;（2）求棱锥FoBED的体积.（2019·安徽）（本小题总分值14分）如下图,四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，&ang；ABD=60°,&ang；BDC=45°,ADPooBAD.（1）求线段PD的长；（2）假设PC=R,求三棱锥PABC的体积.解：（1）BD是圆的直径&there4；&ang；BAD=z90Gdeg;.（2分）又ADPsaBAD,&there4；=，（4分）DP=3R.（7分）（2）在RtZiBCD中，CD=BDcos45°；=R.PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2,∴PD⊥CD.（9分）又&ang；PDA=z9（deg;,&there4；PD⊥底面ABCD,SABC=ABmiddot；BCsin（60°；+45°；）=R2,（12分）VPABC=SZkABCGmiddot;PD=R3.（14分）专题五空间立体几何第14讲空间几何体的外表积与体积1.以下结论正确的选项是（写出所有正确结论的序号）. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么该棱锥可能是六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.【答案】2 .正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，那么四面体AB1CD1的外接球的体积为.【答案】π解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球.3 .有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，那么气球外表积的最大值为.【答案】2&pi；a2解析：当气球外表积最大时，球与正方体的棱相切.4 .ABC的三边长为a,b,c,内切圆半径为r(用SABC表示aABC的面积),那么SABC=r(a+b+c);类比这一结论有：假设三棱锥A-BCD的内切球半径为R,那么三棱锥体积VA-BCD=.【答案】R(SABC+SABD+SACD÷SBCD)5 .如下图，长方体ABCD一A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C一A′DD′,求棱锥C一A′DD′的体积与剩余局部的体积之比.点拨：求棱锥C-A′DD′的体积直接用公式,剩余的体积用大减小.解：长方体可以看成直四棱柱ADD′A′BCC′B′.设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,那么它的体积为V=Sh.而棱锥C-A′DD′的底面面积为S,高为h,因此，棱锥C-A′DD′6体积VC一A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥CA′DD′的体积与剩余局部的体积之比为1:5.6 .如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体.(1)假设该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，假设该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(3)假设该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体(不要求证明)，并计算它的体积与长方体的体积的比.解：(1)如四面体AlABC或四面体Cl一ABC或四面体A1ACD或四面体C1ACD；(2)如四面体B1一ABC或四面体D1一ACD;(3)如四面体AB1CD1；设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么三根底训练1. 22. 3π3. 64. 解析：(此题考查侧面展开图的应用)如下图，圆柱的底面周长是2&pi；,将圆柱沿母线展开，那么缠绕3圈的最短长度就是边长分别为5cm和6πcm的对角线长A1B.例题选讲例1【答案】正六棱柱圆锥(3)圆台(4)由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体变式训练以下命题正确的选项是.由五个面围成的多面体只能是四棱锥；棱锥的高线可能在几何体之外； 有一个面是多边形，其余各个面是三角形的几何体是棱锥； 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么此圆锥的轴截面是正三角形.【答案】解析：五个面的多面体可能是三棱柱，故错；过三棱锥顶点引底面垂线，垂足有可能落在底面三角形外，故对；正八面体的各个面都是三角形，故错；设圆锥的母线长为I,底面半径为r,那么π12=πrl,所以l=2r,于是轴截面是正三角形，那么对.例2解：如下图，过C作C10⊥AB于01,在半圆中可得&ang；BCA=90°,&ang；BAC=30°,AB=2R,&there4；AC=R,BC=R,C01=R,&there4；S球=4&pi；R2,S圆锥A01侧二π×R×R=πR2,S圆锥B01侧二π×R×R=πR2,&there4；S几何体二S球+S圆锥A01侧+S圆锥B01侧二4&pi；R2+&pi；R2+&pi；R2=&pi；R2,&there4；旋转所得到的几何体的外表积为&pi；R2.又V球二πR3,V圆锥A01=A01·π·C0=πR2·A01,V圆锥B01-B01·π·CO=B01·πR2,∴V几何体二V球-（V圆锥A01+V圆锥Bol）-πR3-πR3=πR3,&there4；旋转所得到的几何体的体积为&pi；R3.变式训练如下图，扇形的中心角为90°,其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个局部，这两局部各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积Vl和V2之比为【答案】1:1解析：因为V1=πR2·；R=πR3,V1+V2=×；&pi；R3=pi;R3,所以V2=πR3,即Vl：V2=1：1例3点拨：首先确定球心的位置，然后利用截面解三角形求解.解：(1)设外接球的半径为R,球心为0,那么OA=OC=OS,所以0为4SAC的外心,PSAC的外接圆半径就是球的半径.AB=BC=a,&there4；AC=a.SA=SC=AC=a,&there4；ZkSAC为正三角形.由正弦定理得2R=a,因此,R=a,V<=&pi；R3=πa3.(2)设内切球半径为r,作SE⊥底面ABCD于E,作SF&perp；BC于F,连结EF,那么有SF=-a,SSBC=BCmiddot;SF=a×a=a2.S棱锥全=4SZSBC+S底=(+1)a2.又SE=a,∴V棱锥二S底h=a2×a=a3.&there4；r=a,S球=4&pi；r2=&pi；a2.变式训练如图正方形ABCD的边长为a,E,F分别是边AB,BC的中点，沿DE,EF,FD将4DAE,EBF,FCD折起来，使A,B,C三点重合于点S,那么三棱锥SDEF的外接球体积为.【答案】πa3解析：由题意可知SD、SE、SF两两垂直，那么外接球的半径R=a∴V=πR3=πa3.例4(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形,因为QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ&perp；平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC&perp；AD,所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ&perp；DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,那么PQ&perp；QD,所以PQ⊥平面DCQ.(2)解：设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积V1=a3.由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=a,DCQ的面积所以棱锥P-DCQ的体积为V2=a3.故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.高考回忆1.2
