第六章微分方程及其应用.docx

章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容6.2微分方程的基本概念教学任务目标了解微分方程背景，掌握微分方程的概念教学重点与难点重点：微分方程的概念难点：了解微分方程背景教学内容与时间安排1 .微分方程背景介绍2 .微分方程的概念教学方法与手段方法：讲授教学过程：一.背景介绍数学模型最常见的表达方式，是包含自变量和未知函数的函数方程,。但是在一些特定情况下这类方程还包含未知函数的导数(或微分)，称为微分方程.事实证明，在研究自然现象和社会现象，或某些工程技术问题时，微分方程相关理论应用得越来越广。特别是研究生态环境以及人类的社会生活规律时，微分方程被越来越多的研究者深入研究。例如：(1)种群增长的马尔萨斯(Ma1.thus)模型=M,(2)种群增长的逻辑斯dt谛(1.ogistic)模型把=M(I-&),(3)捕猎-食饵模型生二校4RW,dtKdtdW-=-rW+bRWdt又例如求过(1,2)点，且在曲线上任一点M(X,y)处的切线斜率等于3/的曲线方程。解设所求曲线的方程为y=/(X)。根据导数的几何意义，有=3x2或dy=3x2dx,(1)dx上例中的方程都含有未知函数的导数(或微分)。一其水梅令一.对于这类方程，给出下面的定义1、微分方程：含有未知函数导数(或微分)的方程2、常微分方程：在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量(y,=2x,xydx+(1+x2)dy=0等)3、微分方程的阶：方程中未知函数导数的最高阶数(V=X2一阶微分方程，y+V=O二阶微分方程)4、微分方程的解：能使微分方程成为恒等式的函数尸y(x)5、微分方程的通解：包含任意常数，且独立的任意常数个数与微分方程的阶数相同的解。下面介绍独立含义，定义后面给出。例3y=cxex+c2exVp-=I(常数)0与不独立y=cxex+c2e2x;W=4常数，G与Q独立ee(y=/+C是包=3/的通解，5=-0.3产+c,t+G是咚=-0.6的通解)dx-dr6、初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意数的条件。(y(O)=0,一阶一个条件s(0)=0,s'(0)=30二阶二个条件)【例】验证一阶微分方程y'=型的通解为y=C2(C为任意常数)，并求满足初始X条件y(1.)=2的特解.【解】由y=CY得方程的左边为y=2Cr,而方程的右边为ZZ=空.=2Cx,XX左边=右边，因此对任意常数C,函数y=C都是方程y二互解，即为通解.X将初始条件y(1.)=2代入通解，得C=2,故所要求的特解为y=2/7、微分方程的特解：不包含任意常数的解(满足初始条件的解)。(y=J是包=3/特解S=-03J+3出是“=-0.6的特解)dxdr特解的几何图形称为该方程的一条积分曲线。8、线性微分方程：所含未知函数及其各阶导数全是一次哥时微分方程(y'+(sinx)y=0,y'-2=0)练习：验证方程Ay+3y=0的通解为)，=Cr3(C为任意常数)，并求满足初始条件丸=2=1的特解。三.本次课小结通过本节课的学习，希望学生对于微分方程的概念有正确的认识，能够体会到微分方程的重要作用以及相关性质。作业:习题6.2授课内容章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容6.3一阶微分方程教学任务目标了解一阶微分方程的类型，掌握一阶微分方程常用解法O教学重点与难点重点：一阶微分方程常用解法难点：常数变易法教学内容与时间安排1.可分离变量微分方程（40分钟）2.齐次微分方程（40分钟）；3一阶线性微分方程（40分钟）教学方法与手段教师课堂讲授、师生互动、学生小组讨论等方法§6.3一阶微分方程教学过程：一、可分离变量的微分方程形如半=/（）.g（y）*的微分方程称为可分离变量的方程。dx特点：右边是两个函数之积，其中一个只是X的函数，另一个只是y的函数。处理方法：（1）当g*）w时，分离变量&=/*）八g（y）（2）两边积分J磊=7（大心求出积分G（X）=R*）+C从而得*的解，这种求解过程叫分离变量法。例1解:求微分方程y+冷，=0的通解,y,+xy=0=一孙=-xdx.空dx包y两边积分呼=J-xdx得1.ny=-x2+c1y=e+，22y=±ecir（令C=±）,另外y=0显然是方程解12于是y=ceW"（C为任意常数）是微分方程通解（注：可见积分结果为对数绝对值可省略）例2求方程今=10»丫满足初始条件Ni=O的特解解：原方程可改写为=IOxIOvdx即KrZy=Kr公两边积分10vy = 10at-10v= 10' In1.O1MO÷c化简，得Kr+107=-Cjn1.O令C=-GIn1.o于是10'+1.（v=C把初始条件MZ=O代入上式，求得C=I1。因此，所求微分方程特解为10'+1（T'=11问题诗论1求微分方程生=心，满足初值条件/=0时）=%的解。dt（y=%i”称指数变化律，常用于人口，放射性元素，货币等）二、齐次微分方程形如包=/（¥）#的微分方程，称为齐次微分方程。C1.XX处理方法：令)=即y=wxX得包=X+代入#,得关于未知函数为自变量为X的微分方程dxdxduc,、1du,/、x+«=/(«)或x=jM-udxaxandudx即=/(w)-wx-fducdx两边积分f-=Jf(u)-UJX得f=Inx-1.ncJf(u)-ufdux=ce7f求出积分，将=»回代即得#的通解。X例3：求微分方程y'=2+tan2的通解XX.ny,idydu解：令则y=ur,=x+uXdxdx代入方程得x=tanwdxnry.dx即cotvdu=X两边积分得InSin=InX+1.ncsinu=cx代回原变量得通解SinXVVVsin-练习：求微分方程y'cos2=1.+2cos的通解（原方程的通解为Cr=e"）XXX例4：求微分方程包=，的通解dxxy-x"解:原方程可写为半二dx(9X(2)-1.Xdxu-M-I1.u-idx即du=UX两边积分得w-Inw=1.nx÷C1u=In(XN)+c1即xu=euC=ceu(c=ee')将"=2代入上式，得y=ce：X三、一阶线性微分方程形如V+PMy=qx)(1)的方程称一阶线性微分方程,其中MR)应(X)为已知函数。g(x)称自由项。当式X)=O时，y'+p(x)y=0称一阶线性齐次微分方程。当qx)0时，/+p(x)y=式幻称一阶线性非齐次微分方程。一阶线性齐次微分方程/+p)y=0可用分离变量法手+p(x)y=OOX=-p(x)dxy=-pxdxIny=-pxc1.x+Incy=ce-iP(X)dX(C为任意常数)称公式一阶线性非齐次微分方程V+p()y=q(x)用分离变量法试尝-p(x)yy J件啖MX)卜1.ny = j q")dx - J p(x)dxJ岑 -JP(X 城y = e y e Jy是X函数.一j 也是关于X函数。不妨设c(x) = e3 yy = c(x)e J"。"(C(X)为函数)(3)与(2)形式一致关键求C(X) (3)代入得CJ(X)e J" " +c(x)e J" " -p(x)+ p(x)c(x)e Jc = q(x)即 c,(x) eip(x)dx = q()c'(x) = q(x)J'u"两边积分得C(X) = J"x)JPa"dx +c代回(3)得通解-P(X)dx)，=Jp)"J夕(X)JPa"Zx+c(4)公式其中C为任意常数，每个不定积分与表示一个原函数。从上述方法可知：一阶线性非齐次微分方程的通解，步骤(1)先求齐次线性微分方程的通解y=(2)用函数C(X)代替常数C得y=c(x)eJ"a"”为非齐次线性微分方程的通解。(3)代入原方程求出C(X)(4)将C(X)回代*得非齐次线性微分方程的通解，此方法通常称常数变易法。例5：求微分方程V-1.y=InX的通解。X解：方法一(公式法),()=-q(x)=InX二.原方程的通解：y=e->""Jq(x)eP(x)dxdx+c-f(-)dt.(-i)dr=ejxIJInxeixdx-c=3"J1.nxeTn'公+c=x(-dx-c)z112XX12=x(In-%+c)=Inx+cx22方法二：(常数变易法)先求其对应的齐次线性方程y,-y=OX的通解：=-dx=-dxIny=InX+1.ncyXJyJX齐次线性微分方程的通解为y=cv令原微分方程的通解y=c(x)X代入原方程得c,(x)x+C(X)C(X)X=InXX或c,(x)=1.InxX两边积分得C(X)=Inxd=-In2x÷cJX2因此，原方程通解为：J=(-In2X+c)x=In2X+er22练习：求一阶线性微分方程包一,二3的通解(Id+5)dxX3例6：求微分方程dy+(2孙-X+1)公=O满足初值条件Ni=O的特解。解：原方程可改写为，+-y=-dxXX它的通解为y=eJ"j'(幻"AdX+cd"M鼠+d叫可=(rX1dx+c)=(x-V)dx+cXJJrXj1A2、11Cy= 2=UfX+c)=7÷-X22XX类型微分方程解法可分离变量孚=/(幻g(y)ax分离变量法齐次dxX令2=",再分离变量法X一阶线性齐次y,+p(x)y=0分离变量法，公式法y=cepdv非齐次y,+p()y=q()常数变易法，公式法y=e"""Jq(x)e，()dKdx+c将ya=o代入上式，得C=；于是所求微分方程特解小结：一一十-7X2x本次课小结：作业：习题6.3授课内容章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容64二阶常系数微分方程教学任务目标了解二阶常系数微分方程背景，掌握微分方程的概念教学重点与难点重点：1.二阶常系数线性齐次微分方程2.二阶常系数线性非齐次微分方程难点：二阶常系数线性非齐次微分方程的解教学内容与时间安排1 .二阶常系数线性齐次微分方程解的结构（40分钟）2 .二阶常系数线性齐次微分方程的解法（40分钟）3二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构（40分钟）4二阶常系数线性非齐次微分方程的解法（40分钟）教学方法与手段方法：讲授教学过程：一.背景介绍线性微分方程在自然科学中的应用非常广泛，除了在上一节我们介绍一阶线性微分方程，还有二阶常系数线性微分方程.形如：y,