专题01 空间向量及其运算（解析版）.docx

专题Ol空间向量及其运算考点预测1、空间向量的概念:(1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.(2)向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.UUlUIUUOI(3)向量AB的大小称为向量的模(或长度)，记作AB(4)模(或长度)为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.(5)与向量:长度相等且方向相反的向量称为5的相反向量，记作-a.(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间以同一点O/：一为起用的两个已知向量。、b为邻边作平行四边形OACB,则以O起点的对角线OC就是/bZ与力的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.ON=(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点O,UUUrUlm1Iiuuir作OA=",OB=b,则BA=b.B3、实数/与空间向量。的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算.当/>0时，/5与、方向相同；当/VO时，与。方向相反；当/=0时，/；为零向量，记为3.的长度是。_/的长度的H倍.4、设/,加为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.分配律：I(c+b=Ia+IbI结合律：/(5)=(/，)5.5、如果衣示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量W,b(bi0),/力的充要条件是存在实数/,使。=/.7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.8、向量共面定理：空间一点R位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对X,y,使AR=XAB+)，AC；或对空间Illin UUU IllUU UUUUUUUUUUUIIUUUl任一定点O,有OR=OA+xAB+)，AC；或若四点R,A,B,C共面，则OR=M)A+yOB+zOC(x+y+Z=1).rIUUIIrIUUU1rIr19、已知两个非零向量。和b,在空间任取一点O,作OA=,OB=6,则蟹OB称为向量,b的夹角，记作独力.两个向量夹角的取值范围是：威力?0,p.10、对于两个非零向量。和力，若密工=2,则向量。，,互相垂直，记作:力.211、己知两个非零向量。和b ,则向MCOS施力称为。，力的数量积，记作。立.即£?力冏Meo蝙,力.零向量与任何向量的数量积为0.12、等于的长度同与方在的方向上的投影印os,1的乘积.13若)，力为非零向量，；为单位向量，则有3?5a?e5cos,e；(2)abah=0：(3)5?S叫臂”向)U52,5=J,(4)cos,h=-；(5)晒.j-同忖(4与6反向)IalM14数量乘积的运算律：?力力?5：(2)(/a)?b/(5?£)%喉)；(3)(a+h)7ca?cbt!c.15、空间向量基本定理:若三个向量九，不共面,则对空间任一向量方，存在实数组x,y,z,使得分=总+%+£.16、三个向量)，b,3不共面，则所有空间向量组成的集合是川方=Ai+yb+z2,x,y,z?/?.这个集合可看作是由向量九b,1生成的，£11称为空间的一个基底，；，力，与称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.17、设之，e2,W为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，以之，：，:的公共起点O为原点，分别以5，e2,Z的方向为轴，)，轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O>z则对于空间任意一个向量方，IlUUrrIIuIU一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=P.存在有序实数组x,y,z,使得P=x¢1+2+ze3.把”,y,Z称作向量方在单位正交基底e,e2,63下的坐标，记作方二(X,y,z).此时，向量方的坐标是点R在空间直角坐标系Chyz中的坐标(X,z).例1.(2021全国高二课时练习)如图，在三棱锥P-ABC中，/%_!_平面ABC,CBA.AB,AB=BC=a,PA=b.(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PCAB;(2)确定户C在AB上的投影向量，并求CA4.【解析】(I)因为PA_L平面ABC,所以Pe在平面ABC上的投影向后为AC，因为Q4_L平面ABC,ABi而ABC,可得RA_LAB,所以尸AAB=O,因为C4JLA8,所以BcA8=0，所以PCA8=(4+A8+3C)A8=PA48+A3A3+8CA3=o+2+o=2(2)由(1)知:PCB=airAB=,所以PC在AB上的投影向量为：Pd cos ( pc, a心.咎=IpcI'/ ab 1 1PeAB ABHMH尸C AB AB a2 网 B a由数量积的几何意义可得：PC-AB=AAB=a2.例2.(2021.福建厦门双十中学高二期中)如图，空间四边形OABC的各边及对角线长为2,E是A8的中点，尸在Oe上，且O户=2FC,设。4=,OB=b，OC=c，(1)用a，b»C表示浮1;(2)求向量OA与向量法所成角的余弦值.【解析】(1)因为OA=a,OB=b，OC=J<y«IiQ所以EF=O/一OE=IoC/(04+08)=-50-56+50.(2)因为空间四边形OABC的各边及对角线长为2,所以四面体QWC是正四面体，W=W=H=2,且，b,C间的夹角为，所以48 = c = bc = 22cos60 =2»×22-×2+-×2=-223EF=ab+-c=-a+b+c+abcbc111223yl449233Ir21N4c21c2C2C19=×2+-×2+-×2+-×2×2×2=,4492339所以归H =平，所以CoS（OA,所）=OA EF519O×EF 21938x-F所以向量宓与向量群所成角的余弦值为-也.例3.（2021.山东平邑.高二期中）如图，已知平行六面体AMGR中，底面A8C。是边长为1的菱形，CG=2,ZC1CB=ZBCD=ZC1CD=60°.（1）求线段CA的长；（2）求异面直线。,与所成角的大小.【解析】设&工，品工，&、二，则M=I,M=I,，=2,嬴=IXIXCoS600=g,黑，最=2lcos600=l，：CA1=CA+AA1=CD+CB+CC=a+b+c»，线段CA的长为JFT.（2） *CA=a+b+c»BIDl=BD=a-b，,（2/.CA1-BiDi=a+b+cIIa-b=a-b+c-c=1-1+1-1=O,；c!1b1，故异面直线CA与BQ所成的角为90。.过关测试一、单选题1. （2021吉林长春外国语学校高二阶段练习）关于空间向量，以下说法不正确的是（）.A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面111B.若对空间中任意一点。，有OP=WoA+jO8+;OC,则P、B、A、。四点共面632C.已知；，,；是空间的一组基底，若用=d+W,则日工,而也是空间的一组基底D-若标0,则标是锐角【答案】D【分析】对A,根据空间向量共面定理即可判断：对B,根据J+1+!=l即可判断；对C,根据题意可知上+不共面，进而判断答案；对D，由»o可得夹角的范围，进而判断答案【详解】对A,根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面.AiE确；ITlTlT11对B,因为OP=ZQA+%O8+gOC,且z+%+7=1,所以尸、B、A、。四点共面.B正确；632632对c,因为日NA是空间的组基底，所以不共面，则：工。+1也不共而，而j=,；+。则GE,靛也是空间的一组基底.C正确;TfTC对D,7；»>0,则<,b>eO,）.D错误.故选：D.IUjU12. （2021全国高二课时练习）如图，在平行六面体ABCz）-AqCQ中，AA,=，AB=bAD=c，点尸在AC上，且A/：PC=2:3,则AP等于（）B.D.A.5552-C5【答案】B【分析】2根据题意得到AP=（AC，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】2因为AP：PC=2:3,所以AP=IAC，根据空间向量的运算法则，可得AP=+AP=4A+(aC-4A)=(4A+4C=A41+-(+C)=A41+(AB+AD)=A41+-A+-AD,IIUiII3',又因为A=,AB=b>AD=c»所以AP=(+故选：B.3. （2021.浙江绍兴一中高二期中）如图，在正方体48S-A4GR中，点七在AA上，且AE=2ER,2点尸在体对角线AC上，且则下列说法正确的是（）C.A，E,/三点共线D.A，E,F,8四点共面【答案】D【分析】由向量共线判断E,F,B是否共面，然后根据图形判断各选项.【详解】一2一因为AE=2E，AyF=-FC,2222224EF=AyF-AyE=-AyC-AyDl=-（Ay+Ai+AyDi）-=-A,A+-AiBl-AyD.E=E+AA+=-A÷A÷A，AAA综AA.是空间的基底，不存在常数上使得E户=女反，因此箭与用不共线，所以，E,EB三点不共线，A错；儿显然在平面ABCO即平面BC。外，因此AICO四点不共面，B错；0。VN尸AE<180。，因此A,瓦尸不可能共线,C错；正方体中ADJ/5C,因此AD,BC共面，而4,EfF,B四点都在这个平面内,D正确.故选：D.4. （2021北京通州高二期中）若日工,圆构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）Aa+b,a+b+ct2cB.a-c,a-b,b-cC.a+b,a-b,aD+b,b+c,+c【答案】D【分析】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可.【详解】解：对于选项A：因为2(+C)-(。+)=2c,所以+0,d+b-Vc»2d共面，不能构成基底，故选项A错误，对于选项B：因为(-c)-力-c,所以-c,人-C共面，不能构成基底，故选项B错误，对于选项C：因为g(+)+(->)=",+b,db，d共面，不能构成基底，故选项C错误，=1对于选项D：若a+b,b+C,+W共面，则+=%()+c)+4(a+c),a+b=jua+b+(+ju)c,则<4=1,+z=O无解，所以a+/,b+c,+c不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项DlE确.故选：D.5. (2021.云南省玉溪第一中学高