专题04 圆的方程及直线与圆圆与圆的位置关系（考点清单）（解析版）.docx

专题04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练6考点清单Oh二元二次方程表示曲线与圆的关系6【考试题型1二元二次方程表示曲线与圆的关系6考点清单02：求圆的方程7【考试题型1求圆的方程7考点清单03：由圆的方程确定圆心和半径9【考试题型1】由圆的方程确定圆心和半径9考点清单04：圆过定点问题11【考试题型1】圆过定点问题11考点清单05：直线与圆的位置关系12【考试题型1判断直线与圆的位置关系12【考试题型2】由直线与圆的位置关系求参数13【考试题型3】直线与圆交点坐标16考点清单06：直线与圆相交（韦达定理应用）17【考试题型1直线与圆相交（韦达定理应用）17考点清单07：圆的切线问题20【考试题型1过圆上一点作圆的切线20【考试题型2】过圆外一点作圆的切线21【考试题型3】切线长23【考试题型4】已知切线求参数24【考试题型5】切点弦及其方程26考点清单08：直线与圆综合28【考试题型1】圆的弦长28【考试题型2】已知圆的弦长求方程或参数29【考试题型3】圆的中点弦问题32【考试题型4】直线与圆的实际应用34【考试题型5】直线与圆的定点定值问题36【考试题型6】直线与圆的位置关系中的最值问题40考点清单09：圆与圆的位置关系42【考试题型1判断圆与圆的位置关系42【考试题型2】由圆与圆的位置关系求参数43【考试题型3】圆的公切线条数44考点清单10：圆与圆相交46【考试题型U相交圆的坐标46【考试题型2】相交圆的公共弦方程46【考试题型3】相交圆的公共弦长48一、思维导图圆与圆的位置关系二、知识回归知识点OL圆的标准方程我们把方程(X-a)2+(y-F=/称为圆心为A(afb)半径为r的圆的标准方程.知识点02：点与圆的位置关系判断点M(X0,y0)与OA：(人一。)2+(y-b)2=r2位置关系的方法:几何法:设M(x0,y0)到圆心A(a1b)的距离为d,则d=MA|d>o则点M(A,%)在CA外d=z=则点M(XO,%)在OA上dvzO则点M(X°,%)在内知识点03：圆上的点到定点的最大、最小距离设04的方程*一。)2+(丁一份2=/,圆心A(,b),点M是OA上的动点，点P为平面内一点；记"=IPAI;若点P在OA外，则IPMlmaX=d+r；IPMImin=d-r若点P在OA上，RiJIPMmax=2r,PMmin=0若点P在IA内，贝力尸MlmX=d+-IPMIn而二一一4知识点04：圆的一般方程对于方程Y+y?+f>x+f>+尸=0（D,瓦尸为常数），当O?+皮一4/>0时，方程Y+），+力+Ey+/=o叫做圆的一般方程.当D2+£-4尸>0时，方程表示以为圆心，吗标E为半径的圆;当。2+52-4/=0时，方程表示一个点当。2+炉一4尸<0时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：/和V前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；没有个项;®D2+£2-4F>0.知识点05：直线与圆的位置关系:几何法图象&1位置关系相交/相切判定方法C.(x-a)2+(y-b)2=r2I:Ax+By+C=O0圆心C(,力到直线/的距离：,Aa+Bb+Cd=。d<=>圆与直线相交。C:(x-a)2+(y-b)2=r2>I:Ax+By+C=O0圆心C(,力到直线/的距离：,Aa-Bb-Cd=/oA2+B2d=厂=圆与直线相切。C:(x-a)2+(y-b)2=r2；/:Ax+By+C=O0圆心C(,b)到直线/的距离：d=J2。d>=圆与直线相离。知识点06：直线与圆相交记直线I被圆C截得的弦长为IAB的常用方法1、几何法（优先推荐）弦心距（圆心到直线的距离）弦长公式：AB=2后工F2、代数法直线/：Ax+By+C=0圆+,2+m+/=0Ax+By+C=0联立K），、m+4+八。消去3得到关于“门的一元二次函数加+H+c=°弦长公式：AB=Jl+42y(xi+x2)2-4xix2知识点07：直线与圆相切(1)圆的切线条数过圆外一点，可以作圆的两条切线过圆上一点，可以作圆的一条切线过圆内一点，不能作圆的切线(2)过一点(为,%)的圆的切线方程(OM:(工一。)2+。一8)2=产)点)(%,九)在圆上步骤一：求斜率：读出圆心Mm乃)，求斜率与小，记切线斜率为2,贝株利/=Tn&步骤二：利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点(/,%)点4(%，%)在圆外记切线斜率为2,利用点斜式写成切线方程在利用圆心到切线的距离d=r求出Z(注意若此时求出的女只有一个答案；那么需要另外同理切线为X=Xo)(3)切线长公式记圆：(工-。)2+()，一32=,；过圆外一点P做圆M的切线，切点为，利用勾股定理求尸”；知识点08：圆上点到直线的最大(小)距离设圆心到直线的距离为d,圆的半径为，当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：d-r；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2厂，最小距离为：0；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：J+r,最小距离为：0；知识点09：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设。C:(x-al)2+(y-bl)2=r-'>c2：(x-a2)2+(y-b2)2=W联立作差得到：Ar+8)，+C=O即为两圆共线方程三、典型例题讲与练考占清单01：二元二次方程表示曲线与圆的关系【考试题型I1二元二次方程表示曲线与圆的关系【解题方法】D2+E2-4F>0【典例1(2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考期中)“A>4”是“方程/+9+云+/一2)y+5=0表示圆的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若x2+V+h+(左一2)y+5=0表示圆，则公+(A-2)2-4x5>0,解得左<一2或>4,&>4可以推出f+f+履+(%-2)y+5=0表示圆，满足充分性，X2+9+履+仪-2)丁+5=0表示圆不能推HU>4,不满足必要性，所以&>4是f+y2+收+(A-2)y+5=0表示圆的充分不必要条件.故选：A.【典例2】(多选)(2023上江苏泰州高二泰州中学校考阶段练习)已知方程f+V-4x+8y+24=0,则下列说法正确的是()A.当二10时，表示圆心为(2,T)的圆B.当vl时，表示圆心为(2,-4)的圆C.当。=0时，表示的圆的半径为46D.当a=8时，表示的圆与丁轴相切【答案】BD【详解】由题意，方程x2+y2-4x+8y+勿=0,可化为(x-2)2+(y+4)2=20-2.,可得圆的圆心坐标为(2,-4),A中，当=10时，此时20-2。=0,所以A错误：B中，当”10时,此时20-20>0,表示圆心为(2,-4)的圆，所以B正确;C中，当。=0时，表示的圆的半径为r=24，所以C错误；D中，当a=8时，可得20-20=4,方程表示的圆半径为r=2,又圆心坐标为(2,T),所以圆心到丁轴的距离等于半径，所以圆与>轴相切，所以D正确.故选：BD.【专训11】(2023上四川成都高二棠湖中学校考期中)已知方程/+y2+4-2y-5c=0表示圆的方程，则C的取值范围为()A.c>-lB.c>-lC.t>lD.cl【答案】A【详解】解：因为方程/+>2+以-2)，-50=0表示圆的方程，所以42+(2+20c>0,解得c>1,故选：A【专训12】(2023上湖南常德高二校考期中)若方程f+y2+G_i)x-2y+2-帆=O表示圆，则机的取值范围为.【答案】(YO,-3)。(1,”)【详解】首先将圆的方程配方变形为卜+一)+(y-l)2=w+3,由题意若方程9+V+(ml)x2y+2机=O表示圆，则当且仅当贮匕生口>0,4解得力>1或帆<-3,即加的取值范围为(-,-3)u(l,+)故答案为：(-Q0,-3)5L+co)I考点清单-E八一m02：求圆的方程【考试题型1求圆的方程【解题方法】圆的一般方程或标准方程【典例1】(2023上北京顺义高三北京市顺义区第一中学校考期中)己知圆C的圆心坐标为(-3,2),且点在圆。上，则圆。的方程为()A.X2+y2+6x-4y+8=0B.x2+y2+6x-4y-8=OC.X2+y2+6x+4y=OD.x2+y2+6x-4>,=0【答案】A【详解】因为圆C的圆心坐标为(-3,2),所以设圆C的方程为：+3)2+(y-2)2=r2(r>0),由点(Tl)在圆C上，贝J(T+3)2+(1-2)2=/，得r=小,则圆。的方程为：(x+3)2+(y-2)2=5,Jx2+6x-4y+8=0,故选：A.【典例2】(2023上.天津和平高二天津市汇文中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程.求过两点4(0,4),8(4,6)且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程.(2)已知345C的顶点为A(T,5),8(5,5),C(6-2),求二ABC外接圆的一般方程.【答案】(lf+(y-l)2=25;(2)2+y2-4x-2y-20=0.【详解】(1)因为圆心。在直线x-2y-2=0上，设圆心为，;-1),因为点A(0,4),8(4,6)在圆上,所以O4=Ia即卜Fq=J(4)2+j,解得f=4,所以圆心0(4,1),半径r=OA="2+32=5,所以圆的标准方程为(x-4>+(y-I)?=25；(2)设iABC的外接圆为J+6+Ey+尸=0,将A(T,5),8(5,5),C(6,-2)代入可得：D = -4E =-2F = -20l+25-D+5E+F=0<25+25+5O+5E+F=0,解得36+4+6O2E+尸=0所以aABC的夕卜接圆为V+y24x2y20=0.【专训1-1】(2023上广东江门高二台山市第一中学校考期中)圆C：(x-l)2+(y+l)2=4关于直线%-2y+2=0对称的圆的方程为()A.(x-3)2+(y-l)2=4B.(+3)2+(y-l)2=4C.(x-l)2+(y+3)2=4D.(+1)2+(y-3)2=4【答案】D【详解】圆U(X-l>+(y+l)2=4,圆心为IT),半径为2,设圆心关于直线X-2y+2=0对称的点是(力)，”-2则A。+12.一2-,2则所求圆的方程为(+D2+(y-3)2=4.故选：D【专训1-2(2023全国模拟预测)函数f(x)=-5x+4的图像与坐标轴交于点A,B,C,则过A,B,C三点的圆的方程为.【答案】卜峭+卜一|)=H【详解】函数f(x)=-5x+4的图像与坐标轴的交点分别为41,0),8(