微专题13 泰勒展开式.docx
微专题13泰勒展开式【知识拓展】1.泰勒公式形式泰勒公式是将一个在刈处具有阶导数的函数利用关于(xx。)的次多项式逼近函数的方法.若函数7U)在包含回的某个闭区间小句上具有阶导数，且在开区间(。，加上具有5+1)阶导数，则对闭区间s，句上任意一点了,成立下式：ZyZyIf(次)(X-XO).f'(X)9.JM(XO).fix)=(xo)+ii+7；(X-Xo)2HF-;(X-xo)zt+Rn(X)14H其中：/)3)表示外)在N=.处的阶导数，等号后的多项式称为函数y在Xo处的泰勒展开式，剩余的凡是泰勒公式的余项，是a&)的高阶无穷小量.2 .麦克劳林公式ZVZJ(O)XJ(O)-JW(0)1x)=O)+-i+-x2+-+z-炉+RG)虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取XO=O的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.3 .常见函数的麦克劳林展开式(外。)是高阶无穷小量)：(l)er=1+x÷ty-÷÷7-+();ZIlr(2)sinx=-+-卜(-1Wl-1)!+。俨一】)；2y.4y6j-2COSX=I-亍+/卞+(-1)“)！+o(P);fX3Xn+l(4)ln(l+x)=-÷T-,÷(-l)/,-7÷o(-+1):Zjnr1(5)_X=1+-+x2+jdt+o(xn)；,l,a(a1)o,la(a1)(aw÷1)(6)(1+x)a=+ax÷-x2,÷÷y,+o(xt,).ZJn：4 .两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)Y-1(1)对数型超越放缩：-lnx-l(x>O);ln(1÷x)=-x1÷3F(-1)m-÷Rll(x)(i).上式(i)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)x>-l)结论，用工一1替换上式结论中的X得：InXWX-l(x>0)结论，对于结论左右两边同乘“一1”得一lnx21Qln:21x,用替换X得：1lnx(x>0)结论.(2)指数型超越放缩：x+lev(x<l);ev=1+x+-÷7Cn(x)(ii).上式(2)中等号右边只取前2项得：e'21+x(xR)结论，用一X替换上式结论中的X得：e。IraR)结论，当XVI时，对于上式结论er1工=!21x=7-2eA结论，e1X当x>l时，对于上式结论e1X=!21x=>-e结论.e1X【类型突破】类型一比较大小1991()1例1已知。=同，b=e-嬴，C=In砺，则,b,C的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c(2)(2022新高考I卷)设a=O.le。，Z?=1,C=-MO.9,贝J().a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b答案(I)C(2)C999911()1解析(1)因为ex2x+l,lnx-1,故=e一方>一而+1=顶，C=In砺V101._L八厂1001100,故逃C.(2)根据题意，构造函数为O=Xex,Yg(%)=z7力(x)=-ln(l-),则可以看到。=40.1),8=g(0.1),C=力(0.1).由于0.1较小，所以对上述三个函数在X=O处进行三阶泰勒展开：fiix)=xl+x+$+看+o(炉)=x+x2+*+*+(x3),g(x)=，-11÷x÷x2÷x3÷o(x3)1=x÷x2÷x3÷o(x3),A311X3h(x)=x2r+o(x3)=x÷x2+y÷o(x3).在X=O.1处,显然Z?=g(0.1)%0.Ul0>=(0.1)比0.1105>c=力(0.1)%0.1050,故b>a>c.规律方法涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式,可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用如下超越不等式或其变形公式解决问题：X-11-lnx-l(x>0),x÷1evj1).训练1(1)设=lnl.01,6=果,(其中自然对数的底数e=2.71828)则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<bz(则1- 4mSl4=C1- 431(2)(2022.全国甲卷)已知=石，b=cosA.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案(I)D(2)A解析(1)由lnx21-3等号当且仅当X=I时取到，故X=LOI时0>c,排除A,B.下面比较,6大小,由lnx-1得，In1.01<0.01故b>a,所以CVaVA(2)根据题意，构造函数五为=1-5,g(x)=cosx,以X)=野，则可以看到：=Q),b=gQ1c=h由于0.25较小，所以对上述三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开:r2r2r4r2r4Xx)=l-y,g(x)=l十+丁+o(d),h(x)=1-T÷T÷0(4)显然，在X=O.25时，=娟Vb=g(0vc=4),故a<b<c.类型二证明不等式例2已知函数7U)=ln(-l)一任r-l)+l.求函数Ar)的单调区间；”、皿目12ln3ln4Xnnn(«1)(2)证明：4(“三N,n>1).(1)解因为yU)=ln(-1)k(x1)+1(AR),所以“r)的定义域为(1,+),Fa)=占一七若ZWO,则/(x)>0,於)在(1,+8)上为增函数；1-4LE若>0,则/00=-7-k=;,当IVXVJ+1时，/(x)>0,当x>+l时，/(x)<0.综上，当ZWo时，火外的单调递增区间为(1,+),无单调递减区间，当人>o时，yu)的单调递增区间为(I,(+I),单调递减区间为&+1,+8)(2)证明当k=时，由(1)可知yu)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(2,+o0),有"r)W(2)=0在(1,+8)恒成立，且“X)在(2,+8)上是减函数，即Ina-I)Vxl1在x(2,+8)上恒成立.令1=2,则ln2<层一1,即21nn<(n-l)(÷1),.里写N*且Ql),+12.In2,In3,In4.Inh.2.3.n-n2-n亍+不/尹+丁=日口In2In3In4.Innn(n-1)_r*.a.即亍+丁+亏HlR7<4(">，"三N)成立.规律方法在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔细观察，发现其中所含的超越不等式，需证明后再用来解决问题.+x(xy训练2已知兀T)=Inm，证明：当x(0,1)时，五为>2卜+引.xfljc证明In(l+x)=-2+yF(1)m1H,In(1x)=-yydF(-l)2w,+s所以 In (1+X)-In(I-X)=2故当 j(0, 1)时，HX)>2X2G) 2-1【精准强化练】一、基本技能练1.已知 =e002, 0=1.012, C=In 2.02,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>b 答案AD.b>c>a2 P V4Ynl+,解析 因为e"=+x+于+-+擀-+正+1- 吸OVeV1),， J 4H X 7? I 1 ) O O72 O 023所以 e°02= 1 +0.02+华+*+ QLO20 2,Z?= LOl2= 1.020 1, c=ln 2.02<l,所以4>%>c,故选A.2.已知实数mb, C满足4c=/,且a+。+C=In3+b),则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bT).b<c<a答案A解析设U)=ln-x+l,11则)=嚏一1=一人人当x(0,1)时，)>o,7U)单调递增,当x(i,+8)时，/()vo,人不)单调递减,所以Kr)WyU)=0,即InXWL1,所以ln(÷)÷Z?-1,所以a+b+cWa+Z?1,即cW1,又公=从>0,所以V0,由+b>O,所以方>一>0,所以b2>cr1即ac>a2i所以CV4,所以CVaVA3 .已知=sin,h=yc=,则()A.c<b<aBaVbVcD.c<a<Z?C.a<c<b答案D解析由SinX=X本+5Fo(x2w1),可得%jv3<sinx<x(x>0),所以sin(盖，3),而号43.06V3.14V7T,所以盖>:,MPsin3e(t3选94 .设=21n1.01,b=n1.02,c=4-l,则().a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b答案B解析显然LOl2>i.02,故b<a,只需比较,c大小即可.考虑函数兀0=21n(l+x),g(x)=yl+4x1,考虑到两者均是比较在X=O附近的数的大小:大0.01)与g(0.01。所以对两个函数在X=O处进行泰勒展开.In(I+x)=x，+-F(l)w1-+o(y,),a(ct1)c,a(-1)(a-+1)(1+x)=1+ax+-+÷x,t+O(XW),由上式可得：4r)=2-x2+o(x2),g(x)=2x2x2+Oa2),显然，在X=O附近，Hx)>g(x),故a>c,Q令函数/?a)=ln(l+2x),由泰勒公式得，z(x)=2-2x2+x3+o(x3),又s()2x2x2+4x3+o(x3),在X=O附近，MX)Vg(X),所以b<c.综上，bvc<a.故选B.5 .下列结论中正确的个数为()SinXVjGx>0；(g)lnx<x;(3)er>x÷1.A.0B.1C.2D.3答案C解析令7U)=-sinx,x(0,+o°),贝UF(X)=1cosx0,所以“r)在(0,+8)上单调递增，所以y(x)>y(O)=O,即xsinx>O,即x>sinx,x>0,故正确；令g(x)=-lnx,x(0,+),1X1则(x)=1所以当OVXVI时，g，(x)V0,当x>l时，g<x)>O,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以g(x)2g(l)=1,即xlnx>O恒成立，所以x>lnx,故正确；令(x)=er-(x÷1),h,(x)=CA1,当/VO时，"(x)V0,当x>0时，,(x)>Ot所以a(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以6(x)2(O)=0,即以一(x+l)20,所以e'2x+l,当且仅当x=0时取等号，故错误.故选C.6.已知m,a,。3,o成等比数列,且m+2+3=ln(01+2+3+04),若OValVI,
