微专题3 凹凸反转.docx

微专题3凹凸反转【知Ii只拓展】1 .凹函数、凸函数的几何特征图象上任意孤段位于所在 弦的上方的函数为凸函数图2图象上任意瓠段位于所在 弦的卜.方的函数为凹函数图12 .凹凸反转很多时候，我们需要证明但不代表就要证明yu)mm>o,因为大多数情况下，Ia)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明y>o,可把正幻拆分成两个函数g(x),/©),放在不等式的两边，即要证g(x)>%(x),只要证明了g(x)min>%(x)max即可,如图3,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数，/Z(X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识)(DX与方的组合函数的图象与性质函数J(x)=xexex-)=7-)=图象定义域R(一8,0)U(0,+)R值域T+8)(8,0)Ue,÷co)(-8,；单调性在(一8,1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增在(一8，0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减最值)m>n=K1)=-7V当X>0时，Ax)min=_/(1)=ex)max=D=(2)X与InX的组合函数的图象与性质函数/(x)=JdnX、InXyu)一X朋FX图象定义域(0,+8)(0,+8)(0,1)U(1,+)值域V+8)(-8,(8,O)Ue,+)单调性在(0,在增3上单调递减，+g)上单调递在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增最值TWmin=七)=Tx)max=e)=V当>l时，yU)min=(e)=e【类型突破】类型一化为咪In占意型例1已知函数U)=l+m+l)x+lnx,证明：对任意x>0,1÷(1+a)x>J(x).2e2证明把段)代入化简，得V-即证丫>呼>o).2ev2令g)=->o),rll2ex2(X2)贝Ug,(x)=p.当x(0,2)时,g'(x)<O,g(x)单调递减；当x(2,+8)时，g<)>O,g(x)单调递增.，g(x)最小=g(x)做小=g(2)=,g(x)2今当且仅当x=2时取等号.InY令(x)=-(x>O),rITnx贝"h,(x)=F,当x(O,e)时，hf(x)>OtMX)单调递增；当x(e,+),"(x)<O,力。)单调递减，.z(x)最大=%。)坡大=%(e)=3即力(x)W%当且仅当x=e时取等号.1 12e,2ir由于犬，故丁吟立，即原不等式得证.12训练1(2023南昌模拟改编)证明：对一切x(0,+8),InX恒成立.VCX2证明问题等价于证明xlnx>-(x>0).设fix)=XInx(x>0),/(x)=Inx+1,当x(,§时，/(x)<0,段)单调递减；当x(V+8)时，/()>o,/U)单调递增,X21X设机(X)=最一"(X>O)，则机'任)=一3一，当x(o,1)时，Ma)>o,Wa)单调递增，当x(l,+),Ma)<0,Zna)单调递减,所以m(X)max=W(I)=-又等号不同时取到，从而对一切x(0,+),y(x)>m(x)恒成立,X2即JdnX亘成立.12即对一切x(0,÷),InX>晟一嬴恒成立.类型二化为ax吟§型例2已知函数"r)=eAlnX+与一，证明：(x)>l.2e'IV2丫证明要证明於)=eAlnX+1一>1,两边同乘以I，得XInX+/*VVCzY2即证明xlnx>.aX2÷(x)=xlnX,g(x)=晟一由l(x)=lnx+l知，力(X)在(0,§上单调递减，在(土，+8)上单调递增,所以力%1 Y而g'(x)=f知，g(x)在(0,D上单调递增，在(1，+8)上单调递减，所以g(x)g(l)=一5所以有幽尢)2(：)=一=g(l)2g(x),又等号不同时取到，所以有h(x)>g(x)9即y(x)>l得证.21训练2(2023湛江模拟节选)设凡¥)=。2；1,证明：y(x)+x2-x+l>O.37X证明把兀0代入化简得eH2詈+l>0,37r即证ex>-1+-1,当x0时,左边OVeAW1,37右边=-2+-1-1,O37X此时er>-2+g-l恒成立，O37r当x>0时，要证ex>-1,O日rv已(I1137即证/一卜+口+0，ev(IA37令g(x)=I，=-+J+y,rtlex(%1)贝”gf(x)=p，在(O,1)上，g(c)<O,g(x)单调递减；在(1,+8)上，gr()X)9g(x)单调递增.所以g(x)2g(l)=e,又力。)=，+；)+青W青-2。/=誉(当且仅当x=l时等号成立)21由于g(x)2g(l)=e>g2力(x),37r故当x>0时，ex>-2+W-I成立，O21综上，/(x)+2-1>0成立.类型三先放缩、再反转例3已知函数fix)=axnx÷x2,若0<W1,求证：x)<ev-sinx+1.证明：/(x)=adnx+/,所以待证不等式为adnx+x2<ex-sinx+l,由于当x>0时，sinx<xi，只需证x2+axnx<ex-x+1,即证宁号+1.令g()=呼+1，g3=(mx)(0<F),当x(O,e)时，f(x)>Otg(x)单调递增；当x(e,+),gf(x)<O,g(x)单调递减，易得g(x)最大=g(x)仅大=g(e)=?+1+1,ev-x÷1(er+1)(-2)令力。)=-p-，Ia)=p，当x(O,2)时，,(x)<O,MX)单调递减；当x(2,+),h,(x)>O9(x)单调递增，e21易得(x)最小=%(X)机小=h(2)=-.由于中_+1)=_4：故式成立，原不等式得证.规律方法1.先放缩，再利用凹凸反转法证明不等式，实质是证明了强化了的不等式，即证明了原不等式成立的充分条件.2 .常用到的放缩(l)evx+1(当x=0时取到等号)；(2户2ex(当x=l时取到等号)；(3)lnxW-l(当x=l时取到等号)；(4)乎;(当x=e时取到等号)；(5)0<sinx<x<tanx,.,(X-H)(1-inx)，f训练3已知/(%)=-,求证：Xx)<l÷e证明设g(x)=ex-,则(x)=er-1,令g'(x)=0,则X=0,可得g(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，*g(x)=-12g(0)=0,即exx+1,v+1也即当QO时，e>x+l,即kl，所以yU)vl+e-ErHy(X+1)(1-nx),即要证/<l+e2,只需证1-x-xlnx<l+e-2,令f(x)=1xxnx(x>0),则f(x)=In-29当x(0,e-2),f(x)>O,XX)单调递增,当x(e",+8)时，«)<o,心:)单调递减，易得f(x)ma=f(x)根大慎=«e2)=l+e2,所以有1xjdnx<l+e-2,从而有x)<l+e-2.类型四凹凸反转求参数例4(2023福州模拟改编)若evlnx+mx1+(1-er)x÷w0(x>0),求正实数m的取值范围.解不等式等价于er(mr2+x+z)W-Inx,令g(x)=er(w2+x+zn),h(x)=xnxfg'(x)=ex(-)(-mx+m-1),令g'(x)=O,解得x=l或x=l5，V>0,1<1.m当o<m时，一o,所以g(x)在(O,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故g(x)ma=g(l)=e,(2w-F1),欲使不等式恒成立，则g(l)(l)<e1(2n+l)l,e1解得0<n-5-，当m>时，0<15<1,所以g(x)在(0,1),(1,+8)上单调递减，在(15,1)上单调递增，2"Ij而g(l)=>1»存在g(l)>z(l),从而不等式evln÷wx2÷(1er)x+nO不恒成立.e1综上，当0<nW时，不等式怛成立.易错提醒凹凸反转一般用来证明不等式恒成立，若要用来求参数范围必须确保凹凸函数的极值点相同.训练4(1)已知yU)=xeg(x)="(l+当3,若函数_/U)的图象与函数g(x)的图象有两个交点，则实数。的取值范围是()A.(0,eB.(2e,+)C.(e,+o0)D.(8,0)Ue已知函数大力=加入+32贮一元(公>0),若7U)有两个零点，则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1(11-C.T,eD.二，eIeLeJ答案(I)C(2)A解析法一取=e,则yU)=xeg(x)=e(l+亭力，得y11)=g(l)=e,知两函数图象至少有一个交点.由fix)=XP得/(x)=+1)T,当xvi时,/(x)<o,y单调递减，/)vo且火O)=o.当Xf8时，0,当心>一1时，f()>o9y单调递增，当f+8时，y()+.由g(x)=el+-付g(x)=F，当O<<e时，g'(x)>O,g(x)单调递增，当XfO时，g(x)-8,当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减，且g(x)>O,当X-+8时，g()-0.根据以上信息，画出U)=xeSg(x)=e(l+曲的图象如图所示.因为yu)=g(l)=e,/(l)=g'(l)=2e,所以两曲线在点(1,e)有相同的公切线.由g(x)=al+2阴与y=e(l+2曲图象间的伸缩关系，易知，当>e时，两个函数图象有两个交点.故选C.法二取。=2e,同法一可知两函数图象有两个公共点，故选C.(2次x)有两个零点，等价于aerx