第7讲 平面向量“奔驰定理”.docx

第7讲平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为aABC内一点，则有Sz>bc萩+Saw?而+S用bR=O由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.例已知点A,B,C,P在同一平面内，的=辆,QR=QBfRP=RCf则SAABC:Sapbc等于（）A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6答案B解析由原=；丽，得蒸一丽=；（丽一丽）,A1->2-1-A2-整理得PR=潸+1PQ=P8+产由麻=细2,得而二g（正一袜）,整理得说=一户2.,.一菱户丽+§诙，整理得4¾+6¾+9PC=0,Sabc:SPc=(4+6+9)：4=19：4.已知点P,。在aABC内，4+2PB+3PC=2A+3eh+5C=0,则比0等于()IABI答案A解析根据奔驰定理得，S.PBC:SPAC:SPAB=1：2：3,SQBC:SdaC:SdQAB=2：3：5,:S&PAB=SB=炉3BC,PQ/AB,又,."SPC=5ABC,SxQBC=gs>A8C,.PQV_y_I,ab563°(3)过AABC重心。的直线夕。交AC于点P,交BC于点Q,PC=AC,QC=nBCf贝J的值为.3答案f解析因为o是重心，所以%+协+无=o,即。A=一协一诙，-A3-A-A-A3-A-A-A3-A|>PC=AC=>OCOP=(OC-OA)=>OP=OA+OC=_翔_"，QC=nBC=>C-Q=n(C-OB)=曲=+(l-)OCt因为R。，。三点共线，所以亦而，313所以_W(I_)=_£，解得=亍能力提升“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点。在aABC内部，有以下四个推论：(1)若。为AABC的重心，则苏+加+历=0.(2)若O为XABC的外心，则sin2AOA+sin2BB+sin2CC=0.(3)若O为AABC的内心，则a÷Z>b+cC=0.备注：若O为AABC的内心，则SinA+sinB加+$抽。历=0也对.(4)若。为的垂心，则tan+tanO+tanCOC=O.。跟踪演练1 .点P在aABC内部，满足%+2P8+3PC=0,则Sasc：S.(:为()A.2：IB.3：2C.3：1D.5：3答案C解析根据奔驰定理得，Spbc:5¾c:Spab=1：2：3.:SdABC:SAPC=3:1.2 .点O为AABC内一点，若SAOBSBOC:50c=4：3：2,设A5=M+次，则实数A和"的值分别为()1-9 2 一夕D2-9I一夕C2-94-9,B4-92 一夕A答案A解析根据奔驰定理，得3'+2m+4沆=0,即3后+2（以+Q）+4（而+AJ）=0,整理得超="通+方正，故选A.3 .设点P在BC内且为aABC的外心，ZBC=30o,如图.若APBC,XPCK,ZZ¾8的面积分别为3，%,yf则x+y的最大值是.答案坐1-A-A-A解析根据奔驰定理得，H+xP8+yPC=0,即舒=2、丽+2）辰，平方得/2=4/丽2+4v2后z+8必PB.pq.cosZBPC,又因为点P是aABC的外心，所以IPA=PB=PCf且/8PC=2N84C=60。，所以x2+y2+xy=9,(x+y)2=(+盯w；+(M)2,解得Oa+yW，当且仅当x=y=坐时取等号.所以(x+y)max=坐.