课堂探究 1.1导数.docx
课堂探究探究一求函数的平均变化率1 .求函数y=f(x)在区间尻，疝上的平均变化率的步骤是：(D求函数值的增量：7=rU)-rt1);(2)求自变量的增量：AX=X2用；(3)作商即得平均变化率：-fX2fXx.XX2-X2 .运动物体在友到力这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数S(I)在区间上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.【典型例题1】(1)求函数f(x)=±在区间一1,0,1,3刘，施+1上的平均变化率.(2)假设某一物体的运动方程为s=-2,那么该物体在z=2到£=3时的平均速度为.思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；(2)实质就是求函数s(f)在区间2,3上的平均变化率.(D解：F(X)=+在区间1,0上的平均变化率为：11y_f0T-1_2_=-0z=T=2iF(X)=+在区间1,3上的平均变化率为：_1、y_f3-F1_时_L77=3l=W=一I?/U)=*在区间E,的+1上的平均变化率为：by_f1+1一刖_1_1ZIXb÷1加b÷3b+2加+28+3ASOVQ2O×O2(2)解析：平均速度为工7=一、，=10,故该物体在1=2到£=3时的平均速度为-10.tL答案J10探究二导数定义的应用1 .利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数.求导函数时，可按如下步骤进行：(1)求函数的增量y=f(+)f()；(2)求平均变化率产JT"XX(3)取极限，得导数F(x)=lim?.2 .求函数F(X)在X=刖处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即f(Xo)=IimAx-Ot；二是先利用导数的定义求出/5),再计算/(X)在X=XO的函数值.【典型例题2】(1)求函数f(x)=V+在X=I处的导数；(2)求函数f(x)=20的导数.思路分析：对于(1)可有两种方法：一是直接利用导数定义求解，二是先求出F'(x),再令x=l求得/(X)的函数值即得导数值；对于(2)可按照导函数的定义直接求导数.解，(1)(导数定义法)因为Ay=(l+A)-F(D=(I+Ax”+。+A*)-2=(A)3+3(A*)2+4A*,所以72=(AxT+3A+4,X于是F(X)在x=l处的导数f=!西普=期Ky)2+3Ax+4=4.(导函数的函数值法)因为Ay=f(x+)f()=(+)j÷(+x)-=(x)3÷3()2x÷3*x、殳+bx,所以Z=(AX)53A>x+3+l.于是/V)的导数r(X)=!典Z=3+l.从而产=3X+1=4.(2)因为Ay=F(X+)f(x)=2x+-2x,、x+ ,所以Ay2立+3才-2表2>x+a1-2Iy/x+Aa-xxXy÷x+yx于是/V)的导数r=IimALoX点评利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对W的变形与化简，使之能够约去分母中的Ax,然后求得导数.探去三导数的几何意义及其应用1 .导数的几何意义：曲线y=F(x)在点(M,处的切线的斜率就是函数y=F(x)在X=甩处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值.2 .运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，假设点在曲线上，那么该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；假设点不在曲线上，那么该点的导数值不是切线的斜率.3 .假设所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解.【典型例题3】(D曲线一2上一点,那么过点户的切线的倾斜角为()A.30°B.45oC.135oD.165°(2)函数f(x)=2x+:,那么曲线y=f(x)在点(一1,一3)处的切线方程是.(3)假设直线/：y=4x+a与曲线C：尸4一2+3相切，求实数a的值和切点的坐标.思路分析：(1)先利用导数定义求出/(力在*=1处的导数，即得切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角；(2)先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方程；(3)应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解.(1)解析：Ty=Jf-2,1=!赳厂A'+ X ' 2 I*2X2Iim-ALO X旺彳 A X3x-lim x÷ = ,yLY=I=I ，：.过点的切线的斜率为1,那么切线的倾斜角为45° ,应选B.答案：B解析：函数F(X)=2x +1在点*=一1处的导数为f (-D =1f -1÷ f -1&x=IimA .V-O=1.因此由导数几何意义知，曲线y=F(x)在点(一1,一3)处的切线的斜率A=/(-1)=1,因此切线方程为歹一(-3)=>(-1),即y=-2./=X2而设直线/与曲线。相切于点尸(照J0),.： F =l=3-4x.+AX2x-X"÷3-f2丁+3由导数的几何意义，得3/4照=4,2解得Xo=W或Ab=2,O/2、3切点的坐标为或(2,3).49V7/2、349(2当切点为时，有方=4X(Q+a,49乙/27_121L27;当切点为(2,3)时，有3=4X2+a,a=-5./21213二所求a的值为a=标，切点为;4927a=-5,切点为(2,3).点评本例(3)中，切线方程，从而切线斜率，但切点未知，因此应设出切点坐标，才能与导数的几何意义联系起来.探究四易错辨析易错点：不注意点是否在曲线上而出错【典型例题4】试求过点时(1,1)且与曲线尸J+1相切的直线方程.,uabyx+X÷1-13xX2÷3t2+bx'12,.2,y2错解：-Tz=；=7=3+3+()2,lim3步,因XXbXALoNx此/=3/,所以切线在x=l处的斜率女=3.故切线方程为y-l=3(-l),即3-y-2=0.错因分析：此题错误在于没有注意到点做1,1)根本不在曲线上，而直接把点”当成曲线上的点，利用导数几何意义求切线方程，导致错误.防止错误的方法是先判断点是否在曲线上，再针对不同情况分别求解.正确解答：y,=3/(解法同上)，设过时(1,1)点的切线与曲线尸f+相切于点p(照，髭+1),根据导数的几何意义，函数在点尸处的切线的斜率为左=3舄，过MIJ)点的切线的斜率衣="：+1；1,Ab-I3Q由=得，3痴=7,解之得Xo=O或Xo=J,Xo127所以4=O或k=-,97因此曲线y=f+过点必(1,D的切线方程有两条，分别为y1=7(¥)和y=l,即27-4y-23=0和y=l.
