泛函分析第七章-习题解答1-25.docx
第七章习题解答1 .设(X,d)为一度量空间，令U(x0,)=xxeX,(x,x0)<g,S(xtpE)=xxeX,J(x,x0)问U(X0，£)的闭包是否等于S(,0?解不一定。例如离散空间(X,d)。UaOj)=Xo,而S(XO)=X。因此当X多于两点时，U(X0A)的闭包不等于S(XO,1)。2 .设CT。,切是区间,切上无限次可微函数的全体，定义证明Ca1b按d(,g)成度量空间。f(t)g(t)证明(1)假设d(,g)=0,那么max-4=0，即f=g的助1+1_g(Uw,g)=a皿单匕幽=d(f,g)+d(g>h)因此口,切按d(f,g)成度量空间。3 .设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集G，6M包含B，而且AqI=B。M=I证明令=Bq,=或工,8)/,冷=12.4是开集：设0"那么存在X8,使nJ(x0,x1)<-O设S=,一4(/0，%)>0,那么易验证U(X0,b)uq,这就证明了q,是开集nn显然Co假设Xco”那么对每一个n,有WB使d(x,X)<L,因此=1=lnXn>x(fj>8)。因B是闭集，必有t£8,所以CO“=B。=14 .设d&,y)为空间X上的距离，证明Z(X,y)=,d(j'N)l+d(x9y)是X上的距离。证明假设d(x,y)=O那么d(x,y)=O,必有二y因，/(%,工或工,2)+4(乂2)而一在0,8)上是单增函数，于是1+f7(x,y)=-L7(x,y)="Hz)+d(y,z)l+d(x,y)1+J(x,z)+J(,z)d0,z)Id(y,z)1+d(x,z)+d(y,z)l+d(x,z)+d(y,z)d(x,z)1 + d(x,z)I d(y,z)l+d(y,z)= d(x,z)+ d (y,z)。5 .证明点列/；按习题2中距离收敛与fC",例的充要条件为A的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明假设，按习题2中距离收敛与C"4,即1(0-r0(A)7max,>0(>)+A-r,>0(>oo),这样因此对每个r,±maxr2r+A-maxk0->0(->8),即力在a,b上一致收敛于/。反之，假设的<(t)各阶导数在a,b上一致收敛于f(0,那么任意£>。，存在，"使£)<宗存在N-使当>N,时，max1力一尸)(“<白厂=012-%，取r=ro+222"I-f")(f)N=maxN1.NQ,当n>N时，t(,t)max,w-4即"(/，)>。(一>8)。6 .设8u向,证明度量空间Cm,切中的集f当tB时f=0为Qa,句中的闭集，而集A=f当tB时，If(t)I<a)(a>0)为开集的充要条件是R为闭集。证明记E=f当teB时f=0。设力E,"按Qa,切中度量收敛于f,即在a,bl±n(Z)一致收敛于f(t)。设，£8,那么/=Iim<(f)=0,所以fE,这就证明了E为闭集W->00充分性。当B是闭集时，设fA°因f在B上连续而B是有界闭集，必有f°3,使)=max(r).设6Z-(r0)=>Oo我们证明必有U(,5)uA。设gU(f,b),那么假设t三B.必有(f)-g卜6,于是lg(3(f)-g+FQ)l<b+(fo)=,所以gA,这样就证明了A是开集必要性。设A是开集,要证明B是闭集,只要证明对任意tnwB,=1,2.假设tn->%(一>8),倘假设°Wb,那么定义，=。一|/一片|。于是对任意，6,力Q)=一|，一八|<。因此，")A由于A是开集，必有<5>0,当Ca,b且d(,/)<b时，A.定义，n=l,2。那么d(f.,fo)=KTOl->0(n->00)因此当f°<b时，ZIWA但是<(G=-fT°+%TOl=*此与<A的必要条件:对任意B,有，(r)<Q矛盾因此必有/(18°7 .设E及F是度量空间中的两个集，如果d(E,)>o,证明必有不相交开集O及G分别包含E及F证明设或瓦产)=S>o°令o=xd(x,E)=J,G=XId(Xi)=前zOnG那么EuO,/UG,且OCGW，事实上，假设OcG，那么有，所以存在E中的点X使d(x,z)<g,F中点y使c(y,z)(g,于是d(x,y)d(x,z)+d(y,z)<S,此与d(x,y)d(E尸)=b矛盾。8 .设Ba,b表示a,b上实有界函数全体，对Ba,b中任意两元素f,gBa,b,规定距离为d(f,g)=supIf(t)-g(f)I证明Ba,b不是可分空间。at<b证明对任意foa,b,定义儿)=l"o)2,f0,b)那么4")Ba,bj,且假设乙WG，d(D=l倘假设Ba,b是不可分的，那么有可数稠密子集g"对任意%wb,U",g)必有某g，即"(g”,儿)<g°由于b上的点的全体是不可数集。这样必有某g，f”,使&一"4)，gU(41),于是d(fli,ft2)或九，g.)+d(gn,ft2)Vg+g=1此与d(fh,乙)=1矛盾，因此Ba,b不是可分空间。9 .设X是可分距离空间，<9为X的一个开覆盖，即S是一族开集，使得对每个xeX,有S中的开集()，使得xO,证明必可从3中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明假设'gX,必有Q3,使XO/因。,是开集，必有某自然数n,使U*)UoA°n设是X的可数稠密子集，于是在U(Jr,-)中必有某U(8，-),且U(%,J-)Uo,。事实I力心2n2nIn上，假设ywU(s，'-),那么d(y,x)d(y,s)+d(xjt,x)v-!-+-!-=L所以yU(,-!-)uOr°2?2n2nn2n这样我们就证明了对任意'WX,存在k,n使U(以且存在U(8,-!-)uO任取覆盖2nInU(S,-L)的O,记为是X的可数覆盖。210 .X为距离空间，A为X中子集，令/(x)=infd(x,y),xX,.证明/(幻是X上连续函数。ycA证明假设x,对任意£>0,存在%A,使"(/,No)vinfd(x,y)+刍=/(/)+专。取E2=f>0那么当d(x,/)<6时,F(X)=infd(x,y)d(x,为)d(x,/)+"(%,%)</(%)+£因此/(x)-/(与)<£。由于X与10对称性，还可得*o)-F(X)<£。于是If(Xo)-f(%)K这就证明了/(x)是X上连续函数。11 .设X为距离空间，6,F?是X中不相交的闭集，证明存在开集G,G2使得GioG2=,G1fj,G2F2证明假设工耳，那么由于X任尸2，尸2为闭集，必有J>0，使U(X,J)Cg=。，令G=UU(X,W),类似G?=Ut(y,¾,其中U(y,4)c6=O,显然G,G?是开集，且XWFl2XG&2G1FpG2F2倘假设GCG2。,，那么必有XW匹，yw72，使U(y,晟)nu(x,当)Oo设zU(y,mi)nua,).不妨设4j,那么xyd(y,x)<d(x,z)+J(z,y)<+-x因此.vU(x,q),此与U(X,j)11鸟=6矛盾。这就证明了GcG2=。12 .设X,Y,Z为三个度量空间，f是X到丫中的连续映射，g是丫到Z中的连续映射，证明复合映射(gJ)()=g()是X到Z中的连续映射。证明设G是Z中开集，因g是丫到Z中的连续映射，所以g-(G)是丫中开集。又f是X到丫中的连续映射，故T(gi(G)是X中的开集。这样(gJ)T(G)=i(gT(G)是X中的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。13 .X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c,集合xxX,尸(x)r和集合xxX9F(x)c都是闭集。证明设f是X上连续的实函数，又对每一实数c,G=(c,00)是开集，于是f-x(G)=xxX,F(x)>c是开集。这样&I%WXJa)cCxxeX9f(x)>c是闭集。同理xxX,(x)c是闭集。反之，假设对每个实数c,xxXJ(x)c和xxXJ(x)c都是闭集,那么xxXJ(X)Vc和%|%*,/)>。都是开集。设G是直线上的开集，那么G=IIa也)或G=OQ也)，其中(4.也)是G的构成区间。不妨设=l=lG=U(%也)于是/=1OOOOFT(G)=UxXeX,%<f(x)<4=U(%*WXJa)>j)11(xXWX"(x)<¼)是开集。因=lr=l此f是连续的实函数。14 .证明柯西点列是有界点列。证明设怎是X中的柯西点列。对1>0,存在N,使当n,mN时，d(xn.xm)<.9令M=maxd(x,XN)<+l那么对任意Z有"(x"n)M。因此4是有界点列。iN15 .证明第一节中空间S,B（八）,以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明U)S是完备的度量空间设%是S中的柯西点列，怎=Cr看2(),考)对每一个固定的i,由于W厂一>0。一>0),2't因此对任意£>0,存在b>0,当03时Y£,对此b>0,存在n,mN时,l-2,/d( x )-y1 -cw0"一乙2+|”一M)I1|产(")_卢(M)I因此%F马"，从而IlTr)I总<小这样对固定的i,以%竟是柯西点列。设京->8)。令X=©4故有XS,81尸<?且对任意给定£>。，存在i0,使Z-r<3-。存在Nj,(iii°),使>N,时，Ig泮一£|<才。r=+l222%于是当n>N=maxTV1,Nb)时，f1KYj<-II+l÷l,-n-白2,1+I空)非|+所以乙按S的距离收敛于X(2)B（八）是完备的度量空间设X,J3是B（八）中的柯西点列，任意£>0,存在N，使当n,mN时d(x.,x,”)<£。这样对任意，A,Ixm(0-xltl(01supIxn(Z)-xm(/)<.因此对固定的t,%(f)是柯西点列。设IgAxn(t)->x(tn->),由于n,mN时|/(。-Xma)K£,÷m->,得£,这样Ix(01Xtta)+,于是supIx(t)suxnQ)+<-w故x（八）,且QN时，SUPIXzt一/区£。这就证明了按B（八）中距离收敛于X。IgA(3)离散的度量空间(X,d)是完备的度量空间设£"是X中柯西点列，那么对g>0,存在N,当n,mN是火/,()<:。特别对一切n>N,d(,巧v)<g,于是n>N是Z=X因此%一>(一>8),即(X,d)是完备的度量空间。
