任意角（同步讲义）(教师版).docx

人教A版必修1第5章三角函数：1.1任意角(同步讲义)d圜园(教师独具内容)课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角.教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象眼角的概念，掌握终边相同角的表示方法.教学难点：用集合符号表示终边相同的角.【知识导学】知识点一角的相关概念(1)角可以看成平面内一条社射线绕着它的端点从一个位置舱旋转到另一个位置所成的鲤图形.(2)角的表示：如图，OA是角的魂始边,08是角的魂终边,。是角的婴项点一角可记为“角a”或“Na”或简记为“a”.(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：名称定义图示11一条射线绕其端点按画逆时针方向旋转形成的角上负角按画顺时针方向旋转形成的角零角一条射线幽运专做任何旋转形成的角0A(B)知识点二相反角如图，我们把射线OA绕端点0按点不同方向旋转域相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角a的相反角记为豌二知识点三象限角(1)若角的顶点在原点，角的始边与QiK轴的非负半轴重合,则角的圆终边在第几象限,就称这个角是第儿象限角.(2)若角的终边在做坐标轴上,则认为这个角不属于任何一个象限.知识点四终边相同的角设表示任意角，所有与角终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为4口=0+卜360。，kZ).【新知拓展】对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)ZZ,即攵为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一.同®值®1 .判一判(正确的打y“，错误的打“X”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角.()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.()答案(1)×(2)(3)×2 .做一做(1)与600。角终边相同的角可表示为()A. 360o+220o(Z)B. k3600+240。伙Z)C.k3600+60°(kZ)D.Jt360o+260o(AeZ)(2)若角。与角力终边相同，则Q6=.答案(I)B(2)360o,%Z题型一正确理解角的概念【例1】下列命题正确的是()A.终边与始边重合的角是零角B.终边和始边都相同的两个角一定相等C.在90。斗180。范围内的角£不一定是钝角D.小于90。的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360。，720o,.,A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360。的整数倍，如30。与一330。，B错误；由于在90。*180。范围内的角片包含90。角，所以不一定是钝角，C正确；小于90。的角可以是0。，也可以是负角，D错误.故选C答案C金版点睛理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.【跟踪训练1(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了()A.60oB.-60°C. 30oD.-30°(2)射线。力绕端点。顺时针旋转90。到。8位置，接着逆时针旋转100。到OC位置，然后再顺时针旋转240。到。位置，求NAOO的大小.答案(I)B(2)见解析360°解析(1)钟表的时针旋转一周是一360。，其中每小时旋转一置=一30。，所以经过2个小时应旋转一60。.故选B.(2)如图，NAO8=90°,ZBOC=100o,ZCOD=360o-240o=120o,ZAOD=ABOC-ZAOB+ZCOD=100°-90°+120°=130°.题型二终边相同的角的表示【例2】(1)写出与=-1910。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720。39<360。的元素少写出来:(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.解与角。=一1910。终边相同的角的集合为娥=-1910。+&-360。，Z.V-720o<<360o,-720o-19100+360o<360o,3<<6.故2=456,k=4时，-1910o+4×360o=-470°,&=5时,=-1910o+5×360°=-110°,2=6时，/?=-1910o+6×360o=250°.朋=0180。，kZ.缈=1350+kl80°,kZ.变式探究在与角1030。终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角.解1030t½360°=2310°,所以1030。=2x3600+310°,所以与角1030。终边相同的角的集合为=2360o+310o,Z.(1)所求的最小正角为310。.(2)取攵=一1得所求的最大负角为一50。.金版点睛在0。360。范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为+k36(kZ且0。a<360。)的形式，关键是确定2.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法.(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.【跟踪训练2】已知一990。<。<一630。，且Q与120。角的终边相同，则a=.答案一960。解析'F与120。角终边相同，故有0=。360。+120。，Z:Z.XV-990o<360o+120o<-630°,即一1110o<360o<-750o,解得一3盍Va-2.,又女Z,故比=-3,a=(3)360o+120°=-960°.题型三象限角的判定【例3】(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.一75。；855。；一510。；(2)若是第二象限角，则20,今分别是第几象限的角？解(1)作出各角，其对应的终边如图所示：由图a可知：-75。是第四象限角.由图b可知：855。是第二象限角.由图C可知：-510。是第三象限角.(2)二夕是第二象限角，/.90o÷360o<<180°+Z360°(ZZ)，180o+A720o<2<360o+%720°(AZ),20是第三或第四象限的角，或角的终边在)，轴的非正半轴上.力是第二象限角，90o+360o<<180°+k360。也Z),45o÷l80o<<90o+k180°伏Z).解法一：A.当=2(TIWZ)时,aa450+n360o<2<90o÷360o(Z),即5是第一象限角;b.当&=2+1(WZ)时，2250+w360o<<270o+w360o(nZ),即,是第三象限角.故,是第一或第三象限角.解法二：45。+&-180。表示终边为一、三象限角平分线的角，90。+心180。(k2)表示终边为,，轴的角,45。+攵480。<*90。+0180。(在为表示如图中阴影部分图形.即,是第一或第三象眼角.金版点睛象限角的判定方法(1)根据图象判定.依据是终边相同的角的概念，因为0。360。之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到。360。范围内.在直角坐标平面内，在0。360。范围内没有两个角终边是相同的.(3)a所在象限的判断方法确定。终边所在的象限，先求出。的范围，再直接转化为终边相同的角即可.(44所在象限的判断方法已知角。所在象限，要确定角三所在象限，有两种方法:用不等式表示出角彳的范围，然后对攵的取值分情况讨论：被整除；被除余1；被除余2；被除余一1.从而得出结论.作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成4个区域.从X轴非负半轴起，按逆时针方向把这4个区域依次循环标上l,2,3,4a的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是彳的终边所落在的区域.如此，W所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.【跟踪训练3(1)若为第三象限角，试判断9(一的终边所在的象限；(2)若为第四象限角，试判断卷的终边所在的象限.解(1)因为。为第三象限角，所以180o+it360o<<270o+Ar360o,女Z,则-180o-360o<90o-<-90°-A360°,AWZ,所以90。一Q的终边在第三象限.(2)由于a为第四象限角，即(k360。-90。，360o)(Z),所以罗(火.180。一45。，180o)(Z).当k=2n,"Z时，彩(360。-45。，w360o)(Z),彳是第四象限角；当女=2+1,"Z时，(360o÷135o,n360°+180o)(nZ),髓第二象限角.综上，可知今的终边所在的象限是第二或第四象限.题型四区域角的表示【例4】写出终边落在阴影部分的角的集合.解设终边落在阴影部分的角为,角1的集合由两部分组成.k3600+30o<<360o+105°,%WZ.360o+210o<360o+285o,k三Z.角的集合应当是集合与的并集：Ar360o+30o<Ar360°+105o,AZUa360o+210oa<360o+285o,k三Z=a2h180o+30oa<2h180°+105o,ArZUa(20+1)180o+30oa<(2÷l)1800+105o,Z=a2h80o+30oa<2180°+105°或(22+l)180°+30oa<(2+1)180°+105o,k三Z=ak80o+30oa<180o÷105o,kZ.条件探究将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界).(I)解(1)tt45o÷360oa90o+Ar360o,ArZ)Ua225o+360oa270o+jl360o,k三Z=a45o+A:-180o<a90o+180o,女Z.(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得3-150。+卜360。女力50。+360。，kZ.金版点晴区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角a,P，写出所有与a,4终边相同的角;（3）用不等式表示区域内的角，组成集合.【跟踪训练4】写出终边落在图中阴影区域内（不包括边界）的角的集合.1Y、'、45。?60。(2)解（1）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得砒-360。+135。<0<七360。+300。，女Z.（2）k360。一60°<<k3600+45°,kZU360°+120o<<360o+225o,AZ）=ak-180°-60o<<180°+45o,k三Z.随堂水平达标1 .一215。是（）A.第一