几何综合题.docx
几何综合题1 .如图，ABC中，AB=AC,ZBAC=at点。在，45C内部，且使得ZABD=ZBD=-30o.则ZACO的度数为（）A.a-30oB.a-60oC.30oD.不能确定【答案】C【分析】如图，在ABC内作ZCAE=ZBAD,且使得AE=AD,连力ECE,证明一ABD三ACE,得到AACE为等腰三角形，再证明二ADE为等边三角形，推出.DCE为等腰三角形，由三角形外角的性质得出ZACD=IZAED即可.【详解】如图，在eABC内作Ne4E=N840,且使得AE=AD,连DE,CE,在AABZ）和MCE中，AB=AC</BAD=NCAE,AD=AE:.ABDACE（SAS）,ZABd=ZBAD,ZXABZ）为等腰三角形,二AeE为等腰三角形，ZCAE=ZBAD,ZBAC=a,ZBAD=-30o,2.ZDAE=NBAC-/BAD-ZCAE=。-e-30。卜6-30。）=60o,.VADE为等边三角形，DE=AE=CE,丁.DCE为等腰三角形，延长CE交A。于广点，ZAEF=ZEAC+ZECA,NDEF=NECD+NEDC,:.Z.AED=ZAEF+Z.DEF=2NACE+2NoCE=2（ZACE+NOCE）=2ZACD,.NACD=LNAED=LX60。=30°,22故选：C.【点晴】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键.第11卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题2.如图，在四边形ABCO中，AB=AC905平分NAoaZBCD=150o.JMNABO的度数为°.【答案】30【分析】以AB为边作等边ZVWE,连接EC,过点8分别作LD4,分别交DEZM的延长线于点EG,证明E,C,D三点共线，进而证明RfAABGgRfAEBF可得AG=EFf证明用ZZ)3G忠心Zf>8厂可得QG=OF,进而可得QA=DE,进而SSS证明AAD皿EDB,从而可得ZABD=NEBD,即可求得NABO的度数.【详解】如图，以AB为边作等边ZVWE,连接EC,/.ZABE=60oAB=AC.AB=AC=AE=BE.ZC=(180o-ZC)=90o-(ZE4C+60o)=60o-ZE4CZACE=g(180。-NEAC)=900-TNEAC./BCE=ZACE-ZACB=30°NBCO=150。.NBCE+NBCD=180。E,C。三点共线，过点B分别作BF1DE,BG工DA,分别交DE,DA的延长线于点RG,08平分NAOC.BF=BGAB=AE:.RfAABG沿RfAEBF:.AG=EF又BD=BD、BG=BF.RiADBGRADBF.DG=DF:.DA=DEOB平分AQC,.ZADB=NEDb又BD=BD,BA=BE.ADBAEDBZABD=ZEBd:.ZABD=-ZABE=30°2故答案为：30【点晴】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，添加条直线是解题的关键.3.如图，在AABe中，NABe=45。，AD9BE分别为DC,AC边上的高，连接OE,过点。作。尸_LOE交BE于点凡G为BE中点,连接AF,DG.则A尸，DG关系是【答案】AF=IDG,【分析】延长OG至M,使GM=Z>G,交A尸于“，连接8W,根据题意证明4E=D班',推出4)EF=NDFE=45。,利用SAS证明MGMZA及2(SAS),得出ZMBE=NFED=45。=ZEFD,BM=DE=DF,再利用&LS证明ABOMZDA(S4S),得出DM=AF=2DG,ZFAD=BDM,证出NA，D=90。，即可得出结论.【详解】解：AF=2DGt且AZ7LOG;理由如下：如图，延长OG至M,使GM=G。，交AF于，连接8W,.ADt班:分别为8C,Ae边上的高，.'.ZBEA=ZADB=fXf,ZABC=45。，.43。是等腰直角三角形，.AD=BD,ZZMC+NC=ZDBE+NC=90°,.ZDAC=ZDBEtHRaAE=NDBF,ZADB=NFDE=骄,.ZADB-ZADF=ZFDE-ZADF,即NBDF=ZADE,在AE和厂中，NDAE=NDBFAD=BD,ZADE=/BDF.M)AEDBF(ASA),.DE=DF,.AFI应是等腰直角三角形，DEF=NDFE=45°,G为座中点，.BG=EG,在AeG何和E8中，BG=EG<NBGM=NDGE,GM=GD:.BGM公EGD(SAS),:.ZMBE=ZDEF=45。=ZDFE,BM=DE=DF,ZDAC=ZDBe,:.ZMBD=ZMBE+ADBE=45°+NDBE,/EFD=45°=ZDBE+NBDF,.ZBDF=45o-ZDBE,ZADE=ZBDF,.ZADF=90。-ZBDF=45。+ZDBE=ZMBD,在DW和DA”中，BM=DF<NMBD=NADF,BD=AD:.ABDM之2AF(SAS),:.DM=AF=2DG,AFD=ZBDM,ABDM+MDA=9QPt.ZiW4+Z¾D=90o,NAHD=90°,.AF±DGt.AF=2DG,且AFj,DG.故答案为：AF=2DG,AFlDG.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.三、解答题4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在J，轴上，点B在X轴上，NABC=90。，AB=BC9连接AC,CD_Lx轴于点O,CD=5.(1)如图1,求点B的坐标；(2)如图2,O/平分NAo氏。尸交AC于点尸，求证：点尸为AC'的中点；(3)如图3,在(2)的条件下,点E在第二象限,连接AE、CE,且N£=45。,NEc4+N8AO=45o,CE=18,求点尸的坐标.OBDx0BDXOBDX图1图2图3【答案】(1)(5,0)；(2)见解析；(3)(7,7)【分析】(I)由题意易证NBA。=/CBD,即可利用证明$840MCBO,即得出OB=CD=5,即得出B点坐标.(2)延长。尸、DC,且交于点“，由(I)全等可得Ao=BD,OB=CD=5.再根据题意可知NooM=45°，即可证明AOZW是等腰直角三角形，即得出OQ=MO,从而可证明5。=CM,即证明出4。=CM.最后利用“ASA唧可证明二AORAuM,得出AF=CF,即证明尸点为AC中点.(3)如图3-1所示，是等腰直角三角形，AB=ACfNBAC=90。，NBQC=90。,先证明A。平分N8QC；将一ABC沿AC翻折得到=4VC,过点N作NHLCE于点H,过点C作CGlEA交EA延长线于G,连接NE,NG,先证明EGNgZCGN得到EN=CN,则CH=；CE=9,然后利用“AAS，可证明;840匕NNCH,即得。A=C”=9,从而得出必=CM=OA=9,进而可求出MD=OO=+8=9+5=14,即得出M点坐标.最后由中点坐标公式即可求出尸点坐标.【详解】解：(1)VABC=90,：ABO+/CBD=骄.又:ZABO+ZBAO=90,：ZBAO=ZCBd.8Lx轴，AZBDC=90，在ABAo和ACBZ)中ZAOB=ZBDC=90ZBAO=NCBD,AB=BCBAOCBD(AAS)t：.OB=CD=5,点坐标为(5,0).(2)如图，延长。尸、DC,且交于点”,；.BAOmCBD,AO=BD,OB=CD=5.:。产平分ZAQB,：,NOoM=45。，：/BDC=90,即NooM=90°,AODM是等腰直角三角形，：OD=MD,：.OD-OB=MD-CD,BPBD=CMf：.AO=CM.CO"LX轴于点。，.*.AOUDM,：.ZAoF=NCFM,ZOAF=MCFf：.AOF.CFM(ASA)fAF=CF,即尸点为AC中点.(3)如图3-1所示，ZkABC是等腰直角三角形，AB=ACtNBAe=90。，NBDC=90。,现在证明AO平分NBDC,将ABD绕点A逆时针旋转90。得到ACE,/.AD=AEtNDAE=90°,ZACE=ZABD,VZBC=ZBDC=180o,ZD+ZCD=l80o,/.ZCE+ZCD=I8O°,£>、C、E三点共线，/.DE是等腰直角三角形，工NAoE=45。，/.ZADB=ZBDC-ZADE=45o,/.ZADB=ZADCf即AD平分NBOG图3-1如图3-2所示，将；ABC沿AC翻折得到AAA9,过点N作NH工CE于点H,过点C作CG_LEA交E4延长线于G,连接NE,NG,VZGEC=450,NEGC=90°,：NGCE=I800-NGEC-NEGC=45°,：.ZGEC=ZGCEf：.GE=GC,:ABC中NABC=90。，AB=BC,：.AVC,AN=CN=AB=BC,NANC=90。，由前面所证可得NEGN=NCGM在仆EGNffiCGN中,GE=GC<NEGN=NCGN,GN=GN:4EGN9ACGN(SAS),：.EN=CNt：NHl.EC,：.CH=-CE=9,2VZECA+ZBAO=45o,ZECA+ANCH=ZCN=45o：.ZBAO=NCHt，在t84O和二NNC”中，NAOB=NCHN=9。<NBAo=/NCH,AB=CNBAO=ZNCH(AAS),：OA=CH=9,BD=CM=OA=9,：.MD=OD=CM+CD=9+5=14,点M坐标为(14,14),Y点尸为OM中点，JF点坐标为(美至，&1加)，即尸(等，竽)，F(7,7).【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质，坐标与图形等腰三角形的性质与判定等等，综合性强，较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.5.等腰RtAABe中，NACB=90。，CA=CBt点A、C分别在X轴、Iy轴的正半轴上.(1)如图1,求证：ZbCO=ZCAOi(2)如图2,若。4=5,0C=2t求8点的坐标；(3)如图3,点C(0,3),Q94两点均在轴上，且SACai=18,分别以AC,CQ为腰在第一、第二象限作等腰RtCAN、等腰RtQCM9连接MN交轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出。P的值；若变化，求。尸的取值范围.【答案】(I)见解析；(2)(-2,-3)；(3)不变，9【分析】(1)根据同角的余角相等得出结论即可；(2)先过点8作BQ_Ly轴于CDBAOC(AAS),求得8D=C0=2,CD=AO=5t进而得出。A5-2=
